Chapter 1. 기초 수학

다음 문제에 대한 당신의 의견을 말하시오.

- 정수의 집합은 나눗셈 연산에 닫혀있는가?

- 무엇을 사칙연산이라 하는가?

- 항등원과 역원의 의미는?

- 항등식과 방정식은 서로 다른 것인가?

- 피타코라스 정리는?

- 양함수와 음함수의 차이점은?

1.1 집합과 원소

[정의 : 집합] 집합은 서로 구별되는 대상들을 순서와 무관하게 모은 것을 말한다. 이 때 집합에 속하는 각각의 대상들을 원소라고 한다. 세상에 존재하는 거의 모든 것들은 집합의 원소가 될 수 있다. 집합은 일반적으로 라틴 알파벳 대문자 A, B, C 등으로 표시된다.

[정의 : 원소] 집합을 이루는 대상 하나하나를 그 집합의 원소라고 한다. 원소는 일반적으로 라틴 알파벳 소문자 a, b, c 등으로 표시된다. 또 원소 p가 집합 A의 원소일 때 “p가 A에 속한다” 라고 말하며, [eqn: p` IN A]라고 표기한다. 만약 집합이 원소를 하나도 가지지 않는 집합이라면 이 집합을 공집합이라 하며 기호 ø로 나타낸다.

[예제] 다음 집합에 속하는 것을 찾으시오.

▪교정에서 운동을 하고 있는 학생들의 모임 [  ]

▪2008년 11월 4일 전세계 대통령들의 모임  [  ]

▪1부터 100까지의 짝수 전체의 모임        [  ]

▪우리나라의 미인들의 모임                [  ]

▪자연수 전체의 모임                      [  ]

[정의 : 상등] 두 집합 A, B에 속하는 모든 원소가 동일할 때 “A와 B는 상등이다.”라고 한다. 만약 두 집합 A와 B의 원소가 전부 같다면 A = B 라고 쓰고, 두 집합이 같은 집합이라고 말한다.

[집합의 표현] 집합에 속하는 원소를 표현하기 위해서는 일반적으로 원소나열법과 조건제시법을 사용한다.

[원소나열법] 모든 원소를 일일이 나열하는 방법으로 각 원소를 “{”와 “}” 사이에 열거하면 된다.

▪{1, 2, 3}

▪{흰색, 검은색}

▪원소의 수가 많고 원소들 간에 규칙이 있을 때에는 중간을 생략할 수 있다.

▪{1, 2, 3, ..., 100} : 1부터 100까지의 자연수가 있는 집합

▪{2, 4, 6, ..., 40} : 2부터 40까지의 짝수가 있는 집합

▪이와 같은 표기를 사용할 때에는 규칙성을 알 수 있어야 한다.

▪예를 들어, {1, 4, 5, 7, ..., -4}와 같은 경우, 중간에 생략된 숫자들이 무엇인지 추측할 수 없다.                  [  ]

[조건제시법]  원소들을 구체적으로 설명하는 대신에, 원소들의 논리적 관계를 기술한다. 예를 들어, { x | x는 1부터 10까지의 자연수 } 와 같은 집합이 있다면, 이 집합은 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}과 동일한 집합이 된다. 이것은 { (원소) | (원소의 조건) }과 같이 표기한다. 여기에서 앞의 원소 부분에 변수가 한 개만 있을 필요는 없다. 예를 들어, 다음의 설명 방식도 가능하다.

▪{ x + y | x는 1 또는 2, y는 3 또는 4 } = { 4, 5, 6 }

▪{ (x, y) | x ∈ {1, 2}, y ∈ {1,2} } = { (1,1), (1,2), (2,1), (2,2) }

[포함 관계] 어떠한 원소가 집합에 속해 있는지를 표기할 때에는 [eqn: IN], [eqn: NOTIN] 기호를 사용한다. 예를 들어, 집합 A가 A = {1, 2, 3, 4}라고 할 때 3이 집합 A에 속한다는 것을 다음과 같이 표기한다. [eqn: 3 IN A]. 마찬가지로, 5가 집합 A에 속하지 않는다는 것은 다음과 같이 표기한다. [eqn: 5 NOTIN A].

[집합의 기수] 집합이 가진 원소의 수를 집합의 기수(Cardinality)라고 한다. 즉, 집합 {1, 2, 3, 4, 5}는 5이다. 기수가 0인 집합도 있으며, 이를 공집합이라 부르고 Ø라는 기호로 나타낸다. 예를 들어, 변이 4개인 삼각형의 집합은 공집합이다. 집합 중에는 자연수의 집합을 비롯해 무한히 많은 원소를 가진 것도 있으며, 이를 무한 집합이라 한다.

[교집합] 집합 A와 집합 B가 있을 때, A와 B 모두에 속하는 원소들을 모은 집합을말하며 [eqn: A SMALLINTER B]으로 표현한다.

[eqn: A SMALLINTER B`= LEFT { ``p```|```p`` IN A,````p` IN B``` RIGHT } ````]

[합집합] 집합 A와 집합 B가 있을 때, A나 B 중 하나 이상에 속하는 원소들을 모은 집합을 A U B로 나타낸다.

[eqn: A CUP B`= LEFT { ``p```|```p`` IN A`````or````p` IN B``` RIGHT } ````]

[여집합] 전체집합 [eqn: U]에 속하면서 집합 A에 속하지 않는 원소들의 집합을 말하며, [eqn: A ^{c}]로 나타낸다.

[eqn: A ^{c} `= LEFT { ``p```|```p` NOTIN A,`p`` IN U```` RIGHT } ````]

[차집합] 집합 [eqn: A]에 속하면서 집합 [eqn: B]에 속하지 않는 원소들의 집합을 말하며, [eqn: A-B]로 나타낸다.

[eqn: A-B`= LEFT { ``p```|```p` IN A,`p`` NOTIN B```` RIGHT } ````]

1.2 수집합

수를 원소로 하는 집합에는 자연수([eqn: N]), 정수([eqn: Z]), 유리수([eqn: Q]), 무리수([eqn: I]), 실수([eqn: R]), 복소수([eqn: C]) 등이 있다.

1.2.1 수의 표현

수학에서는 수를 표현함에 있어 일반적으로 분수 형태 및 소수 형태로 표현한다. 분수(分數, fraction)는 [eqn: {a} over {b}]꼴로 표시한다. 이것은 a를 b로 나눈 값, 즉 a와 b의 비를 뜻하며, 여기서 a는 분자, b는 분모라고 한다. [eqn: {a} over {b} <1]일 때의 분수를 진분수라 하고,  [eqn: {a} over {b} GEQ 1]일 때의 분수를 가분수라고 한다. 모든 가분수는 정수와 진분수의 합으로 나타낼 수 있다.

수의 소수 형태 표현은 [eqn: abcd.efg _{(B)}] 꼴로 표시된다. 이때, 각 자리에는 기저에 해당하는 [eqn: B]에 따라 0에서부터 [eqn: B-1]까지 올 수 있다. 예를 들어, [eqn: B=10]인 경우, 십진법 표현이라 하며 보통 우리가 알 구 있는 수 표현이다. 컴퓨터에 사용되는 수로서는 2진법, 8진법, 16진법, 32진법 등이 있다.

1.2.2 연산에 의한 수 집합 확장

정의되어 있는 수로부터 새로운 수를 만들기 위해서는 연산이 필요하다. 흔히 우리가 알고 있는 사칙연산에는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 있다. 이러한 연산을 사용해서 생성되는 수가 원래 정의된 집합에 포함되지 않을 수도 있다. 이런 경우는 우리가 배제하여야 하는 것으로 판단된다. 이러한 판단을 하기 위해서 “주어진 집합이 사용되는 연산에 대해 닫혀있다, 또는 열려 있다”라는 용어를 사용한다. 즉, 임의의 두 수를 택하여 연산을 적용하여 생성된 새로운 수가 주어진 집합에 속할 때에는 “이 연산이 주어진 집합에 닫혀있다”라고 한다. 만약 그렇지 않을 경우, “그 연산은 열려 있다”라고 한다. 닫혀 있는 경우가 좋은 것이라고 할 수 있다. 이렇게 닫혀 있는 연산을 정의하여 새로운 수의 집합을 생성해 갈 수 있다. 여러 가지 형태의 수 집합을 소개한다.

1.2.3 자연수

수학에서 자연수는 양의 정수(1, 2, 3, ...), 또는 음이 아닌 정수(0, 1, 2, 3, ...)를 지칭한다. 전자는 수론에서, 후자는 집합론에서 보통 사용된다. 역사적으로 자연수의 엄밀한 수학적 정의는 여러 어려움을 겪으면서 만들어졌다. 페아노의 공리는 어떤 엄밀한 정의라도 반드시 만족해야 할 조건들을 제시하고, 집합론의 경우 특정한 구성을 사용해서 페아노의 공리를 만족하는 모델이 존재한다는 것을 보일 수 있다.

[페아노의 공리]

▪0은 자연수이다.

▪모든 자연수 a에 대해서 그 다음 수 S(a)가 존재한다.

▪다음 수가 0인 자연수는 존재하지 않는다.

▪서로 다른 자연수 a와 b에 대해서, 그 다음 수 S(a)와 S(b) 또한 서로 다르다.

▪0이 어떤 성질을 만족하고, 임의의 자연수 k가 그 성질을 만족할 때 그 다음 수 S(k) 또한 그 성질을 만족하면, 이 성질은 어떤 자연수에 대해서도 만족된다. (이는 수학적 귀납법이 올바르다는 것을 보장해 준다.)

▪여기서 정의에 사용된 "0"은 일반적으로 사용하는 숫자 0에 대응할 필요가 없으며, 공리를 만족하는 어떤 것이라도 될 수 있다. 이 공리를 만족하는 체계는 0 또는 1로 시작하는 자연수 이외에도 많이 존재한다.

[자연수 정의] 집합론을 사용한 구성으로 다음과 같이 자연수를 귀납적으로 정의할 수 있다.

▪0 = { }으로 한다.

▪모든 a에 대해, S(a) = a ∪ {a}로 정의한다.

▪그럼 모든 자연수의 집합은 0을 포함하고, 다음 수 함수에 대해 닫힌 모든 집합들의 교집합으로 정의된다.

▪이 정의에서 모든 자연수는 그 수보다 작은 자연수들의 집합과 같다.

▪0 = { }

▪1 = {0} = {{ }}

▪2 = {0, 1} = {0, {0}} = {{ }, {{ }}}

▪3 = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}

[다른 정의] 앞에서 보인 "표준적인" 구성이 유용하기는 하지만, 이외에도 다른 구성들이 존재한다. 예를 들어서, 0 = { }로 한다. 모든 a에 대해, S(a) = {a}로 정의한다. 이 경우 0 = { }, 1 = {0} = {{ }}, 2 = {1} = {{{ }}}, …등으로 정의된다. 또는 처음에 0 = {{ }}로 정의할 수도 있다.

거의 최초로 제시된 자연수의 집합론적인 정의는 고틀로프 프레게와 버트런드 러셀이 정의한 것으로, 여기서는 자연수 n은 n개의 원소를 가진 모든 집합들의 집합으로 정의된다. 이 정의는 순환론적으로 보일 수 있지만 주의를 기울이면 엄밀하게 만들 수 있다. 0을 (원소가 0개인 모든 집합의 집합인) {{}}로 정의하고, 임의의 집합 A에 대해서 로 정의한다. 그러면 0은 원소가 0개인 모든 집합의 집합이 되고, 1 = σ(0)는 원소가 1개인 모든 집합의 집합이 되며, 일반적으로 σ(k)는 원소가 k + 1개인 모든 집합의 집합이 된다. 따라서 자연수의 집합은 0을 포함하고 σ 함수에 대해 닫힌 모든 집합들의 교집합으로 정의할 수 있다. 이 정의는 공리적 집합론의 일반적인 체계에서는 사용할 수 없으며, 사실 분리공리를 만족하는 어떤 집합론에서도 사용할 수 없다. 하지만 유형론을 기반으로 하는 몇몇 체계에서는 사용할 수 있다.

[닫힌 연산] 자연수에서는 덧셈과 곱셈에 대해서 닫혀 있다.

1.2.4 정수

정수(整數, integer, 문화어: 옹근수)는 자연수(1, 2, 3, ...)와 이들의 음수(-1, -2, -3, ...), 그리고 0으로 이루어진 수 체계를 말한다. 정수 전체의 집합은 보통 Z 또는 칠판 볼드체 로 표기하며, 이런 표기는 독일어에서 수를 뜻하는 Zahlen(짤-렌)이란 단어에서 온 것이다. 정수는 자연수와 마찬가지로 가산 무한 집합이며, 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대하여 닫혀 있다.

[닫힌 연산] 정수에서는 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대해서 닫혀 있다.

1.2.5 유리수

유리수(有理數, rational number)는 두 정수의 분수 형태(단 분모는 반드시 0이 아니다)로 나타낼 수 있는 실수를 말한다. 이에 반해 두 정수의 분수 꼴로 나타낼 수 없는 실수를 무리수라 한다.

모든 유리수의 집합은  또는 칠판 볼드체로 라고 표시한다. 조건 제시법을 사용하여 [eqn: Q]를 다음과 같이 나타낼 수 있다. :

[eqn: Q=` LEFT { {m} over {n} ```|```m,`n` IN `Z,``n != 0` RIGHT }]

[상등]   두 유리수 [eqn: {a} over {b}]와 [eqn: {c} over {d}]는 [eqn: a`` TIMES d`=`b TIMES ``c]를 만족할 때, [eqn: {a} over {b} = {c} over {d}] 이다.

[덧셈]   두 유리수 [eqn: {a} over {b}]와 [eqn: {c} over {d}]의 덧셈은 다음과 같이 정의한다.

[eqn: {a} over {b} + {c} over {d} = {ad+bc} over {bd}]

[곱셈]   두 유리수 [eqn: {a} over {b}]와 [eqn: {c} over {d}]의 곱셈은 다음과 같이 정의한다.

[eqn: {a} over {b} ` TIMES {c} over {d} = {ad+bc} over {bd}]

1.2.6 무리수

무리수(無理數, 영어: irrational number)는 두 정수의 비의 형태로 나타낼 수 없는 실수를 말한다. 이에 반해 두 정수의 비에 의해 나타낼 수 있는 수를 유리수라 한다. 유리수의 집합은 로 정의하고, 무리수의 집합은 로 정의한다. 무리수는 다시 와 같은 대수적 수(모든 유리수 포함)와 π 등의 초월수로 나누어진다.

[무리수 명칭에 대한 논란] 무리수라는 명칭에는 논란의 여지가 있다. 무리수라는 말은 개화기 일본의 학자들이 서양 학문을 수입하고 번역하면서 영어 irrational에 대응되는 뜻으로 만든 용어이다. 보통 rational은 이성적인이라는 뜻으로 사용하기 때문에 이성적이지 않은 것이라는 뜻에서 무리수라고 번역한 것으로 추정되지만, ratio라는 단어에 비율이라는 뜻이 있고, 무리수라는 의미로 사용할 때의 rational은 ratio의 형용사형이라고 볼 수도 있기 때문에, 몇몇 학자들은 '유비수/무비수(비율이 있는/비율이 없는)'와 같은 명칭을 이용해야 한다고 주장하기도 한다.

[증명 문제] [eqn: log _{2} 3]은 무리수임을 증명하시오.

(증명) [eqn: log _{2} 3]을 유리수라 가정하자. 그러면, 어떤 자연수 m, n 에 대해, [eqn: log _{2} 3= {m} over {n}] 을 만족한다. 따라서, [eqn: 2 ^{{m} over {n}} =3] 이 되고. 변형하면, [eqn: 2 ^{m} =3 ^{n}]이다. 그런데, [eqn: 2 ^{m}]은 짝수이고, [eqn: 3 ^{n}]은 홀수이므로 위 등식은 성립할 수 없다. 따라서, 가정이 틀렸다. 즉, [eqn: log _{2} 3]은 무리수이다.

[증명 문제] [eqn: sqrt {2}]가 무리수임을 증명하시오.

(증명) [eqn: sqrt {2}]가 유리수라 가정하자. 그러면, [eqn: sqrt {2}]는 기약분수  [eqn: {a} over {b}]로 쓸수 있다. 서로 소인 [eqn: a,`b]에 대해 [eqn: LEFT ( {a} over {b} RIGHT ) ^{2} =`2]. 이는 [eqn: a ^{2``} =`2`b ^{2}]. 따라서 [eqn: a ^{2}]은 짝수이다.. 짝수가 아닌 수, 즉 홀수의 제곱은 홀수이므로 [eqn: a]는 짝수이어야 한다.. 따라서 [eqn: a ^{2}]은 4의 배수이며, [eqn: {a ^{2}} over {2}]는 짝수이다. b2가 짝수임을 알 수 있다. [eqn: a]와 [eqn: b]는 모두 짝수가 되었다. 이는 기약분수라는 조건에 어긋난다.

1.2.7 실수

실수(實數, real number)는 유리수와 무리수로 이루어지는 수 집합이다. 일반적으로 우리가 다루는 수 집합은 실수집합을 의미하며, 직선으로 그 집합을 표현하기도 한다. 실수집합에서는 사칙연산(덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈)에 대해서 닫혀 있으며 덧셈과 곱셈에 대한 항등원도 존재하며, 각 수에 대한 역수도 함께 존재한다.

1.2.8 복소수

수학에서의 복소수(複素數, complex number)는 [eqn: a`+b``i`]형태로 나타낼 수 있는 수이다. 이 때 a, b는 실수이고 [eqn: i]는 허수단위로 [eqn: i ^{2`} =`-1]을 만족한다. 실수 a를 그 복소수의 실수부, 실수 b를 복소수의 허수부라고 부른다. 실수는 허수부가 0인 복소수라고 말할 수 있다. 즉 실수 a 는 복소수 a + 0i 와 같다. 예를 들어, 3 + 2i 는 실수부가 3이고 허수부가 2인 복소수이다.

복소수도 실수와 마찬가지로 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 할 수 있고 더 훌륭한 성질들도 갖고 있다. 예를 들어, 실수체계에서는 모든 실계수 다항 방정식의 해를 구할 수는 없지만, 복소수체계에서는 모든 복소수계수의 다항 방정식의 해를 구하는 것이 가능하다.

전류의 기호로 [eqn: i]를 사용하는 전자공학 등의 분야에서는 허수단위로 [eqn: j]를 대신 사용하여 복소수를 [eqn: a`+`j`b] 로 나타내기도 한다. 복소수를 사용하면, 실수에서는 풀기 어려운 문제들을 쉽게 풀 수 있다.

기호

복소수의 집합을 볼드체 [eqn: C] 로 표기한다. 임의의 실수 a를 [eqn: a`=`a`+0`i]로 나타낼 수 있으며, 이런 의미에서 실수의 집합 [eqn: R]를 [eqn: C]의 부분집합으로 볼 수도 있다.

상등

두 복소수가 서로 같다는 것은 두 복소수의 실수부가 서로 같고 허수부도 서로 같음을 말한다. 즉,

[eqn: a`+`b`i`=`c``+`d``i```````` LRARROW `````a`=`c,``b`=`d]

로 정의한다.

연산

대수학의 결합법칙, 교환법칙, 분배법칙 등과 [eqn: i ^{2`} =`-1]이라는 조건을 이용하여 복소수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 다음과 같이 정의할 수 있다. 두 복소수의 덧셈과 곱셈은

덧셈:  [eqn: (a`+`b`i`)+(`c``+`d``i)`=``(a+c)`+(`b+d)`i]

뺄셈:  [eqn: (a`+`b`i`)-(`c``+`d``i)`=``(a-c)`+(`b-d)`i]

곱셈:  [eqn: (a`+`b`i`)(`c``+`d``i)`=``ac+ad`i`+bc`i``-bd`=`(ac+bd)`+`(ad+bc)`i]

나눗셈:  [eqn: (a`+`b`i`)/(`c``+`d``i)`=`` {ac`+bd} over {c ^{2`} +d ^{2}} + {bc-ad} over {c ^{2`} +d ^{2}} `i]

복소수체

위에서 정의한 대로 복소수는 0으로 나누는 경우를 제외하면 4칙연산을 자유롭게 행할 수 있으며, 대수학에서는 이런 집합을 체라고 한다. 따라서 복소수의 집합 C는 체를 이루는데, 이를 강조하여 C를 복소수체라고 부른다. 복소수체는 덧셈에 대한 항등원 0, 곱셈에 대한 항등원 1을 갖는다. 또한 복소수체에는 [eqn: a+b`i]의 덧셈에 대한 역원 [eqn: -a-b`i]와 곱셈에 대한 역원 [eqn: {a} over {a ^{2} +b ^{2}} - {b} over {a ^{2} +b ^{2}} i]도 존재한다. (물론 곱셈에 대한 역원은 [eqn: a+b`i]가 0이 아닌 경우에만 존재한다.) 마찬가지로 실수의 집합 R도 체를 이루며, 이를 실수체라고 한다. R은 C의 부분집합이므로 실수체는 복소수체의 부분체이다.

복소평면

복소수는 데카르트 좌표계가 주어진 2차원 평면 상의 점으로 볼 수 있다. 따라서 복소수의 집합 C를 기하학적인 평면으로 볼 수 있으며, 이를 강조하여 C를 복소평면이라고 부르기도 한다.

절대값, 거리

복소수의 [eqn: z=a+b`i]의 절대값은 [eqn: LEFT | z RIGHT |]는 로 정의한다. 이는 피타고라스 정리에 따라 복소평면의 원점(0)으로부터 그 복소수 [eqn: z]까지의 거리로 볼 수 있다. 절대값은 임의의 복소수 z와 w에 대해 다음과 같은 중요한 성질들을 만족한다.

[eqn: LEFT | z RIGHT | `=0`````` LRARROW `````z=0]

[eqn: LEFT | z+w RIGHT | ` LEQ LEFT | z RIGHT | + LEFT | w RIGHT |] (삼각부등식)

[eqn: LEFT | z`w RIGHT | = LEFT | z RIGHT | LEFT | w RIGHT |]

두 복소수 z와 w 사이의 거리 d(z, w)는 |z - w|로 정의한다. 이렇게 하면 복소평면은 거리공간이 되며, 이를 이용하며 극한과 연속성 등을 정의할 수 있다.

켤레복소수

복소수 [eqn: z=a+b`i]의 켤레복소수는 [eqn: a-b`i]이며,  혹은 [eqn: bar{z}]로 표시한다. [eqn: bar{z}]는 z를 실수축에 대해 반사시킨 상이다. 다음의 성질들이 성립한다는 것은 간단히 확인할 수 있다.

[eqn: bar{z+w} = bar{z} + bar{w}]

[eqn: bar{zw} = bar{z} bar{w}]

[eqn: bar{z/w} = bar{z} / bar{w}]

[eqn: bar{bar{z}} =z]

[eqn: z]가 실수  [eqn: LRARROW]    [eqn: z= bar{z}]

[eqn: LEFT | z RIGHT | ^{2} =z bar{z}]

켤레복소수 연산은 사칙연산을 비롯해 여러 중요한 함수와 교환될 수 있다. (예를 들어, 곱셈을 한 뒤에 켤레복소수를 취하나 각각에 켤레복소수를 취한 뒤에 곱셈을 하나 마찬가지이다.)

역사

역사적으로 음수의 제곱근이 최초로 나타난 것은, 서기 1세기 그리스의 수학자이자 발명가인 알렉산드리아의 헤론이 피라미드의 절단에 대한 부피를 계산할 때이다. 좀 더 명확히 나타난 때는 타르탈리아나 제롤라모 카르다노와 같은 16세기 이탈리아 수학자이 삼차와 사차 다항방정식의 근에 대한 공식을 발견할 때이다. 그 당시의 수학자들은 이 공식들에서 실수해만을 구하려고 하였지만 그 과정에서 음수의 제곱근이 다루어지는 과정이 필요함을 곧 알 수 있었다. 그 당시에는 음수에 대한 이해도 부족했으므로 복소수는 수로서 인정되지 못했다.

17세기에 르네 데카르트가 처음으로 "허수"라는 용어를 사용하였다. 18세기에 드 무아브르와 레온하르트 오일러의 복소수에 대한 업적이 있었다. 유명한 드 무아부르의 공식에 드 무아부르의 업적이 나타나 있다:

[eqn: (cos` theta `+i`sin theta ) ^{n} =cos(n theta )+i`sin(n theta )]

그리고 복소해석학에서의 오일러의 공식에서 오일러의 업적을 볼 수 있다:

[eqn: cos` theta `+i`sin theta =e ^{i theta }]

복소수의 존재성에 대해서는 1799년 카스파르 베셀이 복소수를 기하적인 표현으로 나타냄으로서 비로소 완전히 받아들여졌다. 이것은 수년 후에 카를 프리드리히 가우스가 발견하여 널리 알려져서, 결국 복소수가 매우 중요한 수의 확장으로 받아 들여졌다. 그러나 복소수의 기하학적 표현에 대한 생각은 1685년 존 월리스의 <De Algebra tractatus>에도 나타났다.

1.2.9 사원수

수학에서 사원수 (四元數, quaternion)란 아래 조건을 만족하는 3개의 허수단위 [eqn: i,`j,`k]와 4개의 실수 [eqn: x,`y,`z,`w]를 이용하여[eqn: x+yi+zj+wk] 로 표기되는 수를 말한다. (하나의 허수단위와 두 실수로 이루어지는 복소수 a + bi와 연관성이 있다.)

사원수는 윌리엄 해밀턴 경이 발견하였으며, 따라서 해밀턴수라고도 부른다. 또한 사원수 전체를 이루는 집합은 보통 [eqn: H]로 표기한다.

절대값이 1인 사원수를 단위사원수라고 부르며, 단위사원수를 3차원 공간상의 회전으로 생각하였을 때, 사원수의 곱은 회전합성에 해당한다. (여기서도 복소평면상의 회전과 복소수의 곱의 대응관계를 비교해 볼 수 있다.) 이 때문에 사원수는 컴퓨터 그래픽tm, 인공위성 자세제어 등에 이용되고 있다.

정의

사원수 전체를 이루는 집합 [eqn: H]에는 실수전체를 이루는 체 [eqn: R] 위의 [eqn: 1,`i,`j,`k]를 기저로 하는 4차원 벡터공간으로서의 구조를 더하여 다음과 같이 곱을 정의하고 있다.：

① 곱은 결합법칙을 만족하며, 합에 대한 분배법칙도 만족한다.

② [eqn: i ^{2} =j ^{2} =k ^{2} =-1]

③ [eqn: ij`=`k,`jk=i,`ki=j], [eqn: ij=-ji,``jk`=`-kj,`ki`=`-ik]

3번의 조건에서부터 교환법칙이 성립하지 않는 것을 알 수 있다. 그러나 0이외의 원은 곱에 대한 역원을 갖는다. 즉 4원수 전체를 이루는 집합  [eqn: H]는 비가환군이다.  [eqn: H]를 사원수환이라고 부른다.

사원수  [eqn: q=x+yi+zj+wk]에 대한 켤레사원수 [eqn: bar{q}]는 다음과 같이 정의된다.

[eqn: bar{q} =x-yi-zj-wk]

사원수  [eqn: q]의 노름  [eqn: N(q)] 또는 절대값 [eqn: LEFT | q RIGHT |]  은 각기 다음과 같이 정의된다.

[eqn: N(q)=q bar{q} `=`x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} +w ^{2}]

또는

[eqn: LEFT | q RIGHT | `=` sqrt {N(q)} = sqrt {x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} +w ^{2}}]

1.3 이항연산

이항연산(二項演算, 영어: binary operation)이란 두 개의 연산자와 한 개의 피 연산자를 가지는 연산을 말한다. 대표적인 예로 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈과 같은 산술의 연산, 즉 사칙연산이 있다. 좀 더 정확한 수학적 정의에 따르면, 집합 S에 대한 이항연산은 곱집합 [eqn: S TIMES S]에서 집합 S로 가는 함수 [eqn: f]이다. 예를 들면 다음과 같이 실수 집합에서 두 수를 선택하여 사칙연산의 조합으로 정의되는 새로운 함수 모두는 이항연산이라 볼 수 있다.

① [eqn: a DIAMOND b` == ab`-`a]

② [eqn: a STAR b` == 1+a`+`b]

1.3.1 항등원

항등원(恒等元)이란, 어떠한 집합에서 임의의 원소 [eqn: a]와 이항연산을 하였을 때 그 결과 [eqn: a DIAMOND x] 가 항상 다시 그 원소 [eqn: a]가 되도록 하는 나타나는 원소 [eqn: x]를 뜻한다.

[eqn: a DIAMOND x`=x` DIAMOND a`=`a]

항등원 구하는 방법

이항연산의 항등원을 구하기 위해서는 먼저 이항연산 정의와 함께 항등원 관계식을 적용해 본다.  만약 예제 ①의 이항연산을 사용한다면,

집합에 속하는 모든 수 [eqn: a]에 대해서 다음을 만족하여야 한다.

[eqn: a DIAMOND x`=`a]

[eqn: ax`-a=`a]

[eqn: ax`=0]

수식은 모든 [eqn: a]에 대해서 만족하여야 하기 때문에 [eqn: x=0] 이어야 한다. 그러므로 이 연산 [eqn: DIAMOND]에 대한 항등원은 0이다.

만약 예제 ②에 있는 이항연산을 사용한다면 같은 방법으로 항등원을 구할 수 있다.

[eqn: a STAR x` == a]

[eqn: 1+a`+`x=a]

[eqn: `x`+`1=0]

수식은 모든 [eqn: a]에 대해서 만족하여야 하기 때문에 [eqn: x=-1] 이어야 한다. 그러므로 이 연산 [eqn: STAR]에 대한 항등원은 -1이다.

1.3.2 역원

어떠한 집합에서 주어진 원소 [eqn: a]에 대한 역원은 원소 [eqn: a]와 이항연산을 하여 그 결과 [eqn: a DIAMOND y]가 그 연산의 항등원 [eqn: x]이 되도록 하는 원소 [eqn: y]를 의미한다.

[eqn: a DIAMOND y`=x`]

역원 구하는 방법

이항연산의 역원을 구하기 위해서는 먼저 이항연산의 항등원을 알고 있어야 한다. 만약 예제 ①의 이항연산을 사용한다면, 이 연산의 항등원은 0 이었음을 상기하자. 그러면 실수 2에 대한 역원을 다음과 같이 구할 수 있다.

[eqn: a DIAMOND y`=`0]

[eqn: 2y`-2=`0]

[eqn: y`=1]

그러므로 2에 대한 연산 [eqn: DIAMOND]에 대한 역원은 1임을 알 수 있다.

만약 예제 ②에 있는 이항연산을 사용한다면 먼저 이 연산의 항등원이 -1 임을 확인하고, 같은 방법으로 2의 역원을 다음과 같이 구할 수 있다.

[eqn: 2 STAR y` == -1]

[eqn: 1+2`+`y=-1]

[eqn: `y=-4]

그러므로 이 연산 [eqn: STAR]에 대한 2의 역원은 -4이다.

1.4 식

다항식 (多項式, polynomial, 문화어: 여러다미식)은 대수학에서 중요하게 다루어지는 수학적 개념으로 역사적으로도 현대대수학의 성립에 큰 역할을 했다. 일반적으로 식은 수와 문자와의 이항연산으로 표현되어 있는 것을 말한다.

단항식

[eqn: 2x], [eqn: 3x ^{2} y]와 같이 몇 개의 수나 문자들의 곱으로 나타내어진 식을 단항식이라고 한다. 단항식에서 특정한 문자에 주목할 때, 곱해진 문자의 개수를 그 단항식의 차수라 하고, 그 문자를 제외한 나머지 부분을 계수라고 한다. 단항식 또는 단항식의 합으로 나타내어진 식을 다항식이라고 한다.

다항식

다항식은 [eqn: 3x ^{3`} -7x ^{2} +2x-1] 과 같은 형태의 식을 말한다. 각각의 「[eqn: 3x ^{3}]」, 「[eqn: -7x ^{2}]」, 「[eqn: 2x]」, 「1」을 항 (項, term)이라 부르고, 여러 개의 항으로 이루어졌기 때문에 다항식이라고 부른다.

다항식이 주어졌을 때, 그 계수들과의 이항연산이 정의된 집합이 있으면, 그 집합의 원소를 대입하여 식을 계산할 수 있고, 이렇게 하여 집합 자신으로의 함수를 만들 수 있다.

그 실례로, 위 예의 다항식이 주어졌고, 집합 A = {a, b, c}가 주어졌다고 하고, 다항식의 계수와 집합 A와의 이항연산이 특별히 주어지지 않았다고 하면, x에 A의 어떤 원소를 대입한다고 해도, 식은 어떤 특정 값을 내놓지 못하여 함수의 의미를 갖지 못한다. 그러나, A 대신에 자연수의 집합이 주어진다면, 모든 자연수와 위 다항식의 계수와의 곱셈이 정의되어 있기 때문에 다항식은 각 자연수에 대해 어떤 자연수로의 대응을 나타내게 되어 다항식은 자연수 집합으로의 함수를 정의하게 된다.

등식

등호가 들어있는 식을 등식이라 한다.  등호를 중심으로 왼쪽에 있는 식을 좌변이라 하며 오른쪽에 있는 식을 우변이라 한다. 등식이 의미하는 바는 좌변의 값과 우변의 값이 같다는 의미를 지니고 있다. 따라서 일반적으로 등식에 변수를 포함하고 있어 등호가 성립되도록 하는 변수를 구하는 과정이 필요하다. 경우에 따라서는 모든 실수에 대해서 성립되는 등식이 있는가 하면, 몇 개의 특정 값에서만 성립되는 경우가 있다. 다음은 몇 개의 등식에 관한 예제이다. 다음 등식을 만족하도록 하는 변수 [eqn: x]의 후보를 찾아보도록 한다.

①  [eqn: (x+1) ^{2} =x ^{2} +2x+1]

②  [eqn: (x+1) ^{2} =0]

여러분의 답은 무엇인가 ?

등식 ①과 같이 모든 실수에 만족되는 등식을 항등식이라 한다. 일반적으로 항등식은 모든 수에 대해서 성립되는 것이기 때문에 공식으로서 많이 알고 있는 식들이다. 예를 들면, 인수분해공식이라든지 피타코라스의 정리와 같은 것을 의미한다.

등식 ② 과 같은 경우는 특정한 수 일 때만 등식이 성립하게 되는데 이러한 등식을 방정식이라 한다. 그러므로 방정식에 있어서 제일 중요한 것은 방정식을 만족하도록 하는 수를 찾아야 한다. 일반적으로 이러한 수를 방정식의 근이라 하고, 근을 구하는 과정을 “방정식을 푼다”라고 말한다.

방정식을 최고차수에 따라 1차방정식, 2차방정식, 3차방정식, 또는 고차방정식이라 하여 해법을 달리하고 있다. 일반적으로 5차 이상의 고차방정식에 대한 일반해법이 존재하지 않음이 밝혀져 있다.

1.4.1 방정식

방정식(方程式; equation)은 식에 나오는 변수의 값에 관계 없이 식이 항상 참인 항등식과 달리 변수가 특정 값(혹은 함수)일 때에만 참이 되는 식이다. 그리고, 방정식을 참이 되게 하는 변수의 값을 해라고 한다. 해가 없을 수도 있고(불능), 해가 몇 개의 값일 수도 있고, 모든 값일 수도 있다. 마지막의 경우 방정식은 항등식이 된다. 예를 들어, (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 은 항등식인 반면, x2 - 5x + 6 = 0 은 방정식이고, 그 해는 2와 3이다. 알파벳 앞쪽의 a, b, c 등은 일반적으로 상수를, 뒤쪽의 x, y, z 등은 미지수 혹은 변수를 나타낸다. 그래서 방정식을 푼다는 것은 방정식을 만족시키는 미지수를 식에 포함된 상수로 표현하는 것을 말한다.

일차방정식

최고차항이 1차인 방정식을 말한다. 일차방정식은 다음과 같은 일반식을 가지고 있다.

[eqn: ax=b]

일차방정식의 해법은 [eqn: a]값에 따라 다르다. 만약 [eqn: a != 0]이면 근은 [eqn: x= {b} over {a}]이고, 만약 [eqn: a=0] 이면 [eqn: b] 값에 따라 근이 달리진다. 만약 [eqn: b=0]이면 무수히 많은 근이 존재하여 부정이라 말하고, [eqn: b != 0] 이면 근이 존재하지 않게 되어 불능이라고 말한다.

이차방정식

최고차항의 차수가 2인 다항 방정식을 뜻한다. 일반적인 모양은

[eqn: ax ^{2} +bx+c=0],     [eqn: a != 0]

와 같고, 여기에서 a와 b는 각각 [eqn: x ^{2}]과 [eqn: x]의 계수라고 한다. c는 상수항이라고 부른다.

복소수 상에서 이차방정식은 두 복소수 해를 갖는다. 이 두 해는 서로 같을 수 있고, 이런 경우는 중근이라고 한다.

다음은 이차 방정식의 일반적인 해법인 근의 공식이다. 그 사용법은 다음과 같다:

[eqn: ax ^{2} +bx+c=0]

[eqn: a,`b,`c]는 실수일 때, 방정식의 두 근은

[eqn: x _{1} `=` {-b- sqrt {b ^{2} -4ac}} over {2a}] , [eqn: x _{2} `=` {-b+ sqrt {b ^{2} -4ac}} over {2a}]

이다.  여기에서 제곱근 기호 안의 수, 즉 [eqn: D=b ^{2} -4ac]를 이차방정식의 판별식이라고 하며, 판별식의 값에 따라 방정식의 해는 세 가지로 나뉜다.

만약 판별식이 양수이면, 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다.

만약 판별식이 0이면, 방정식은 한 개의 실근을 갖는다. 이때의 실근을 중근이라고 한다.

만약 판별식이 음수이면, 방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다. 따라서 실수 범위 내에서는 해가 존재하지 않는다.

[eqn: ax ^{2} +bx+c=0]

에서, a는 0이 아니므로 양변을 a로 나눌 수 있다.

[eqn: x ^{2} + {b} over {a} x+ {c} over {a} =0]

그런 다음, 상수항을 우변으로 이항하면 다음과 같은 식이 얻어진다.

[eqn: x ^{2} + {b} over {a} x=- {c} over {a}]

좌변을 [eqn: x ^{2} +2xy+y ^{2}]과 같은 모양으로 만들면, [eqn: {b} over {a} x`=2xy]이므로 [eqn: y= {b} over {2a}]가 된다. 양변에 [eqn: y ^{2}]를 더해주면,

[eqn: x ^{2} + {b} over {a} x+ {b ^{2}} over {4a ^{2}} =- {c} over {a} + {b ^{2}} over {4a ^{2}}]

가 얻어진다. 여기에서 [eqn: x ^{2} +2xy+y ^{2} =(x+y) ^{2}]이므로, 좌변은 [eqn: (x+ {b} over {2a} )]의 제곱으로 인수분해된다. 양변을 정리하면

[eqn: (x+ {b} over {2a} ) ^{2} = {b ^{2} -4ac} over {4a ^{2}}]

가 얻어지고, 제곱근을 취하면

[eqn: LEFT | x+ {b} over {2a} RIGHT | = {sqrt {b ^{2} -4ac}} over {LEFT | 2a RIGHT |}]

[eqn: x=- {b} over {2a} ± {sqrt {b ^{2} -4ac}} over {2a}]

가 얻어진다.

1.4.2 부등식

등호가 포함된 식을 부등식이라 하는데 부등식을 만족하는 근은 특정한 값 형태가 아니라 영역의 형태를 갖는다.  부등식(不等式)은 두 수나 식의 크기를 나타낸 식으로, 부등호를 사용하여 두 크기의 비교를 표기한다.

a < b는 a보다 b가 크다는 것을 의미하고, 반대로 a > b는 a가 b보다 크다는 것을 의미한다. 또한 는 a보다 b가 크거나 같다는 것을 의미하고, 는 a가 b보다 크거나 같다는 것을 의미한다.

[eqn: a<b] 는 a가 b 보다 작다는 것을 의미하고,

[eqn: a>b] 는 a가 b 보다 크다는 것을 의미한다.

[eqn: a LEQ b] 는 a가 b 보다 작거나 같다는 것을 의미하고,

[eqn: a GEQ b] 는 a가 b 보다 크거나 같다는 것을 의미한다.

[eqn: a << b] 는 a가 b 보다 매우 더 크다는 것을 의미한다.

[eqn: a >> b] 는 a가 b 보다 매우 더 작다는 것을 의미한다.

부등식의 성질

▪ 양변에 같은 수를 더하거나 빼도 부등호의 방향은 변하지 아니한다.

- [eqn: a<b]이면 [eqn: a+c<b+c],   [eqn: a-c<b-c]

▪ 양변에 같은 양수를 곱하거나 나누어도 부등호의 방향은 변하지 아니한다.

- [eqn: a<b], [eqn: c>0] 이면 [eqn: ac<bc],   [eqn: {a} over {c} < {b} over {c}]

▪ 양변에 같은 음수를 곱하거나 나누면 부등호의 방향은 변한다.

- [eqn: a<b], [eqn: c<0] 이면 [eqn: ac>bc],   [eqn: {a} over {c} > {b} over {c}]

일차부등식의 해법

최고차항이 1차인 부등식을 말한다. 일차부등식은 일차방정식 해법을 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다.

[eqn: ax>b]

일차방정식의 해법은 [eqn: a]값에 따라 다르다. 만약 [eqn: a>0]이면 근의 범위는 [eqn: x> {b} over {a}]이고, 만약 [eqn: a=0] 이면 [eqn: b] 값에 따라 근이 달리진다. 만약 [eqn: b GEQ 0]이면 근이 존재하지 않아 불능이라 말한다. [eqn: b<0] 이면 모든 실수가 근이 되므로 근이 너무 많아 정할 수 없다는 의미의 부정이라고 말한다. 만약  [eqn: a<0] 이면 근의 범위는 [eqn: x< {b} over {a}]이 됨을 알 수 있다. 이에 대한 기하학적 의미를 부여한다면 2차원에서 일차방정식을 표현하는 직선을 구한 다음, 그 직선에 의해서 2차원 평면은 두 개의 영역으로 나누어지는데 그 영역에 포함되는 임의의 점을 찾아 식에 대입해서 부등식을 만족하게 되면 그 영역이 해당 영역이 되며 그 직선이 x축과 만나게 하는 x값을 기준으로 그 영역에 속하는 x값의 범위가 부등식의 근의 범위가 됨을 알 수 있다.

부등식에는 등식의 항등식에 해당하는 특수 부등식이 있다. 이제 이러한 부등식의 종류와 응용분야를 살펴본다.

삼각부등식

두 변의 벡터를 각각 x, y라고 하면 이 부등식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

[eqn: LEFT ∥ x+y RIGHT ∥ LEQ LEFT ∥ x RIGHT ∥ + LEFT ∥ y RIGHT ∥]

증명

[eqn: LEFT ∥ x+y RIGHT ∥ ^{2} = LEFT < x+y,`x+y RIGHT > = LEFT ∥ x RIGHT ∥ ^{2} + LEFT < x,y RIGHT > + LEFT < y,x RIGHT > + LEFT ∥ y RIGHT ∥ ^{2}]

[eqn: LEQ LEFT ∥ x RIGHT ∥ ^{2} +2 LEFT | LEFT < x,y RIGHT > RIGHT | + LEFT ∥ y RIGHT ∥ ^{2}]

[eqn: LEQ LEFT ∥ x RIGHT ∥ ^{2} +2 LEFT ∥ x RIGHT ∥ LEFT ∥ y RIGHT ∥ + LEFT ∥ y RIGHT ∥ ^{2}]

[eqn: =( LEFT ∥ x RIGHT ∥ + LEFT ∥ y RIGHT ∥ ) ^{2}]

산술평균-기하평균 부등식

산술 평균-기하 평균 부등식은 산술 평균과 기하 평균 사이에 성립하는 절대부등식이다. 이 부등식은 음수가 아닌 실수들의 산술 평균이 같은 숫자들의 기하 평균보다 크거나 같고, 특히 숫자들이 모두 같을 때만 두 평균이 같음을 나타낸다. 조화 평균에 대해서도 비슷한 부등식이 성립하며, 세 평균 사이의 부등식을 산술기하평균 부등식이라 통칭하기도 한다.

구체적으로 n개의 음수가 아닌 실수들 [eqn: x _{1} ,`x _{2} , CDOTS ,`x _{n}]이 있을 때 다음이 성립한다.

[eqn: {x _{1} +`x _{2} + CDOTS +`x _{n}} over {n} GEQ root {n} of {x _{1} `x _{2} CDOTS `x _{n}} GEQ {n} over {1/x _{1} +1/x _{2} + CDOTS +`1/x _{n}}]

여기서 각 변들은 산술 평균, 기하 평균, 조화 평균에 대응된다. 특히 [eqn: x _{1} =`x _{2} = CDOTS =`x _{n}]일 때만 등식이 성립한다.

가중 산술 평균과 가중 기하 평균 사이에도 비슷한 부등식이 성립한다. n개의 음수가 아닌 실수들 [eqn: x _{1} ,`x _{2} , CDOTS ,`x _{n}]과 그에 대응하는 가중치 [eqn: alpha _{1} ,` alpha _{2} , CDOTS ,` alpha _{n}]가 있을 때, 가중치의 합 [eqn: alpha =alpha _{1} +` alpha _{2} + CDOTS +` alpha _{n}]이라 하면 다음이 성립한다.

[eqn: {alpha _{1} x _{1} +` alpha _{2} x _{2} + CDOTS +` alpha _{n} x _{n}} over {alpha } GEQ root {alpha } of {x _{1} ^{alpha _{1}} x _{2} ^{alpha 2} CDOTS x _{n} ^{alpha _{n}}}]

마찬가지로 이 부등식은 모든 xk들이 같을 때 등식이 된다.

이 부등식의 다른 일반화된 형태로는 머헤드 부등식과 일반화된 평균 부등식이 있다.

코시-슈바르츠 부등식

코시-슈바르츠 부등식은 오귀스탱 루이 코시가 만들고 카를 헤르만 아만더스 슈바르츠가 덧붙인 중요한 절대부등식이다. 이 부등식은 선형대수학에서는 벡터를 다룰 때, 해석학에서는 무한급수에서, 확률론에서는 분산과 공분산을 다룰 때와 같이 여러 상황에서 사용된다.

이 부등식은 x와 y가 실수나 복소수 내적공간의 원소일 때 다음이 성립함을 나타낸다.

[eqn: LEFT | LEFT < x,y RIGHT > RIGHT | ^{2} LEQ LEFT < x,x RIGHT > LEFT < y,y RIGHT >]

등호가 성립하는 것은 x와 y가 일차 종속인 경우와 동치이다. 또한, x나 y가 n차원 공간 벡터인 경우에 [eqn: x= sum _{k=1} ^{n} x _{k _{}} i _{k}], [eqn: y= sum _{k=1} ^{n} y _{k _{}} i _{k}] 라고 하면, 다음과 같은 부등식이 성립한다.

[eqn: LEFT ( sum _{k=1} ^{n} x _{k} y _{k} RIGHT ) ^{2} LEQ LEFT ( sum _{k=1} ^{n} x _{k} RIGHT ) LEFT ( sum _{k=1} ^{n} y _{k} RIGHT )]

만약 n=2인 경우에는 다음과 같은 부등식을 얻을 수 있다.

[eqn: (ac+bd) ^{2} LEQ (a ^{2} +b ^{2} )(c ^{2} +d ^{2} )]

삼각 부등식과 베셀 부등식은 보통 코시-슈바르츠 부등식으로부터 유도될 수 있다. y = 0일 경우 부등식이 성립한다는 것이 당연하므로, [eqn: LEFT < y,y RIGHT >]를 0이 아니라고 가정할 수 있다. λ를 복소수라 하면,

[eqn: 0` LEQ LEFT ∥ x- lambda y RIGHT ∥ ^{2} = LEFT < x- lambda y,`x- lambda y RIGHT > = LEFT < x,x RIGHT > - lambda LEFT < x,y RIGHT > - lambda LEFT < y,x RIGHT > + lambda ^{2} LEFT < y,y RIGHT >].

[eqn: lambda = LEFT < x,y RIGHT > / LEFT < y,y RIGHT >]로 하여 정리하면,

[eqn: 0` LEQ LEFT < x,x RIGHT > - LEFT | LEFT < x,y RIGHT > RIGHT | ^{2} / LEFT < y,y RIGHT >]

양변에 [eqn: LEFT < y,y RIGHT >]을 곱해서 정리하면 위의 식은 다음과 동치이다.

[eqn: LEFT | LEFT < x,y RIGHT > RIGHT | ^{2} LEQ LEFT < x,x RIGHT > LEFT < y,y RIGHT >]

1.5 피타고라스정리

피타고라스의 정리는 직각삼각형의 세 변에 관한 수학 정리이다. 이 정리는 다음과 같다.

“임의의 직각삼각형에서 빗변을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 다른 두 변을 각각 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합과 같다.”

이때 빗변의 길이를 c, 다른 두 변의 길이를 각각 a, b라고 하면 다음과 같은 식으로 쓸 수 있다.

[eqn: a ^{2} +b ^{2} =c ^{2}]

이것은 직각삼각형의 두 밑변의 길이를 알면 그로부터 나머지 한 변의 길이를 계산할 수 있음을 의미한다. 이 성질은 평평한 평면 위의, 즉 유클리드 공간 위의 임의의 직각삼각형에 대해 성립한다.

기하학적 증명

그림에서, H는 점 C에서 변 AB에 내린 수선의 발이다. 이때 삼각형 ACH와 삼각형 ABC는 닮음이 되고, 비슷한 이유로 삼각형 CBH와 삼각형 ABC는 닮음이다. 따라서

[eqn: {AC} over {AB} = {AH} over {AC}], [eqn: {CB} over {AB} = {HB} over {CB}]

이 성립한다. 이 두 식을 정리하면

[eqn: AC` TIMES AC=AB TIMES AH] ,   [eqn: CB` TIMES CB=AB TIMES HB]

이 두 식을 더하면

[eqn: AC` TIMES AC+CB TIMES CB``=AB TIMES AH+AB TIMES HB=AB TIMES (AH+HB)=AB TIMES AB]

이 되고, 따라서

[eqn: AC` ^{2} +BC ^{2} =AB ^{2}]

가 성립한다.

대수적 증명

그림에서 전체 정사각형의 한 변의 길이는 (a+b)이고, 따라서 넓이는 (a+b)제곱이 된다. 이번에는 부분의 넓이를 각각 구해보면, 가운데 정사각형의 넓이는 [eqn: c ^{2}], 네 개의 직각삼각형의 넓이는 [eqn: ab/2]가 된다. 따라서 전체 넓이는 [eqn: c ^{2} +4 {ab} over {2} =c ^{2} +2ab]가 된다. 따라서

[eqn: (a+b) ^{2} =c ^{2} +2ab]

[eqn: a ^{2} +2ab+b ^{2} =c ^{2} +2ab]

[eqn: a ^{2} +b ^{2} =c ^{2}]

가 성립한다.

1.6 양함수와 음함수

함수(函數, function)는 어떤 집합(정의역)의 모든 원소에 대해 또 다른 집합(공역)의 단 하나의 원소가 짝지어져 있는 관계(binomial relation)를 가리킨다. 함수는 집합과 함께 현대수학의 조직 원리이며 거의 모든 자연과학에서 기초적인 개념으로 사용된다.

함수 역사

수학적 의미로서 함수라는 용어를 수학적인 의미로 사용한 것은 1694년 라이프니츠가 처음이었다. 그는 곡선의 기울기나 곡선상의 특정한 점을 지정하기 위해 이 용어를 사용하였다. 라이프니츠가 처음 생각한 함수는 현재 미분 가능한 함수라고 불리고 있다. 이후, 18세기 중반에 오일러가 [eqn: f(x)=sin`x`+x ^{3}]와 같이 한 개 이상의 인자를 포함한 수식을 설명하기 위해 함수라는 용어를 사용하였다. 19세기에 수학자들은 수학의 모든 부분들을 재정의 하기 위해 노력했다. 수학의 기반을 기하학이 아닌 산술에 놓을 것을 제안한 바이어슈트라스는, 라이프니츠보다 오일러의 함수 정의를 더 선호하였다. 19세기 말에 이르러 수학자들은 집합론에 기반한 모든 수학적 개념을 정의하고자 하였으며, 모든 수학적 개념을 집합의 하나로 정의하려고 하였다. 디리클레와 로바체프스키가 거의 동시에 함수를 현대적으로 재정의 하였다.

함수 정의

집합 X에서 입력 값을 받고 집합 Y의 원소를 출력으로 내놓는 함수 f는

[eqn: f:X`` -> ``Y]

와 같이 표시한다.

함수 f는 다음과 같은 조건을 만족하는 관계(relation)이다.

① X의 모든 원소 x에 대해 관계되는 원소 y가 Y에 반드시 존재한다.

② f(x) = y이고 f(x) = z이면, y = z이다.

더 간추린 정의는 다음과 같다. X에서 Y로 가는 함수 f는 X의 모든 원소 x에 대해 Y의 원소 y가 유일하게 존재하는 카테시안 곱 의 부분집합이다.

예제 1. [eqn: f(x)=x ^{2} +1]

예제 2. [eqn: f(x)=`e ^{x} +ln`x`+cos`x]

정의역, 공역, 치역

입력 값의 집합 X를 함수 f의 정의역이라 하고, 가능한 출력 값의 집합 Y는 함수 f의 공역이라 한다. 함수 f의 치역은 f의 출력 값들의 집합이다.

예제 1. [eqn: f(x)=x ^{2} +1]의 정의구역 [eqn: R], 공변역 [eqn: R], 치역 [eqn: [1, INF )]

예제 2. [eqn: f(x)=`e ^{x} +ln`x`+cos`x] 의 정의구역 [eqn: (0, INF )], 공변역 [eqn: R], 치역 [eqn: R]

함수 그래프

함수를 쉽게 이해하기 위하여 평면과 공간에 카테시안 곱 [eqn: (x,`f(x))] 형태로 점들의 집합을 말한다. 일반적으로 사용되는 함수는 실수 집합에서 실수집합으로 대응된다고 생각하기 때문에 2차언 직교좌표계를 사용하여 함수의 그래프를 표현한다. 2차원의 x축을 정의구역, y축을 공변역으로 하여 만들어진다. 예를 들면, [eqn: g(x)=`x+1] 관계식을 만족하는 점들은 기울기가 1이며 (0,1)을 지나는 직선을 나타낸다.

함수가 되기 위해서는 정의구역에 있는 [eqn: x]에 대해서 하나의 y값이 대응되어야 하므로 y축에 평행한 직선을 그릴 때 함수의 그래프와는 하나의 점에서만 만나야 한다. 그러나 경우에 따라서는 두 개의 점에서 만날 수도 있다. 예를 들면, 우리가 중심이 원점이며 반지름이 1인 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]을 생각하면 그것 또한 하나의 함수의 그래프라 생각할 수 있지만, 정의에 따르면 두 개의 함수로서 이해되어야 한다.

원과 같이 변수 [eqn: x,`y]가 함께 포함된 형태를 음함수라고 말한다. 즉, [eqn: f(x,y)=0] 형태를 갖는 경우를 말한다.

음함수

음함수가 갖고 있는 고유의 특성이 있는데 음함수 식에서 그 특성을 찾을 수 있다. 원을 음함수 형태로 표현하면 다음과 같다.

[eqn: f(x,`y)`=`x ^{2} +y ^{2} -1=0]

음함수 값이 0이 되는 점들의 집합은 2차원 공간을 두 개의 부분 영역으로 양분함을 알 수 있는데, 함수 값이 양수인 경우, 함수 값이 음수인 점들의 집합이다. 즉, 함수 값이 0이 되도록 하는 점들은 폐곡선을 나타내며, 그 폐곡선에 의해서 둘러 싸여지는 내부에 해당하는 점들에 대한 값은 음수를 가지며, 외부에 해당하는 점들은 양수의 함수 값을 가짐을 알 수 있다. 그러므로 주어진 점이 어떤 도형의 내부에 있는지 외부에 있는지를 평가하고자 하는 문제를 접하게 되며, 그 도형을 음함수 형태로 표현하여 주어진 점을 그 음함수 식에 대입하여 함수값을 확인하게 되면 주어진 문제를 쉽게 해결할 수 잇을 것이다.

음함수 값이 0이 되는 점들의 집합을 구하고자 하는 경우, 다시 말해서 폐곡선을 그리고자 한다면 그렇게 쉬운 일이 아님을 알 수 있을 것이다. 원의 경우에는 상술한 바와 같이 두 개의 양함수를 따로 생각하여 그리는 방법이 있고, 또한 다음과 같은 매개변수 [eqn: theta]를 이용하는 방법도 있다.

[eqn: cos` theta `= {x} over {r}],    [eqn: sin` theta `= {y} over {r}]

[eqn: x`=`r`cos` theta `],    [eqn: y`=`r``sin` theta `]

[eqn: theta]값을 증가시키면서  [eqn: x] 값과 [eqn: y] 값을 구할 수 있다. 구와 같이 매개변수로 표현될 수 없는 음함수가 극소수에 달하며 대부분의 음함수들은 아주 복잡한 형태를 갖기 때문에 값이 0 이 되도록 하는 점들의 집합을 찾는 것이 매우 어려운 문제이다. 그러므로 이를 해결하기 위하여 Marching cube 알고리즘을 사용하여야만 가능함을 지적하고자 한다. 이에 대한 설명은 추후에 하기로 한다.