Chapter 2. 해석학 기초

다음 문제에 대한 당신의 의견을 말하시오.

“구간[0, 1]에서의 함수 [eqn: y=cos`x`+`e ^{x} +ln`(x+x ^{3} )]의 최대값과 최소값은?”

- 수열

- 연속함수

- 삼각함수

- 도함수

- 극대값 / 극소값

- 급수

- 적분법

주어진 함수의 최대값과 최소값을 구하는 문제는 실생활에서 많은 분야에서 필요로 하는  문제이다. 일반적으로 이를 구하기 위해서는 주어진 구간에서 함수를 전체적으로 이해하여야 가능한 일이다. 그러므로 함수를 전체적으로 이해한다는 의미는 함수의 그래프 모양을 파악한다는 의미이며, 이를 위해서는 함수 그래프가 [eqn: x] 값이 증가함에 따라 [eqn: y]값이 어떻게 변하는지에 관한 정보를 갖고 있어야 하겠다. 이를 위하여 우리가 생각하여야 하는 전제조건은 다음과 같다.

① 함수의 그래프는 연결된 형태이어야 한다. - 연속함수

② 함수의 그래프가 부드럽게 변해야 한다.   - 미분가능한 함수

③ 접선의 기울기의 부호가 바뀌는 점을 찾아야 한다.  - 극대/극소 : 후보군

④ 주어진 구간이 폐구간(닫힌구간) 인지 개구간(열린구간) 인지 구분하여 처리해야 한다.

⑤ 주어진 구간 양 끝점과 극대 및 극소에 해당되는 점에서의 함수값을 구한다.

2.1 수열

수열(數列)은 특정한 순서로 놓인 수의 열을 말한다. 여기에 속하는 각각의 수를 수열의 '항'(혹은 '원소', '열'이라고도 함)이라고 한다. 수열의 각 항은 순서에 따라 구분되므로 (1,2,3)과 (1,3,2)는 서로 다른 수열이며, 집합의 경우와 달리 (1,1,2)처럼 하나의 수가 두 항에 동시에 등장할 수도 있다. 이때 항의 수를 수열의 '길이'라고 한다. 수열의 길이는 유한할 수도 있고, 무한할 수도 있다. 또한 수열은 (2,4,6,8,...)과 같이 일정한 규칙에 따라 놓일 수도 있고, (3,7,6,5,...)와 같이 아주 규칙도 없이 놓일 수도 있다.

넓은 의미에서는 꼭 수가 아니라도, 특정한 순서로 놓인 임의의 대상의 열을 '수열'이라고 한다. 예를 들어 문자의 열은 '문자열', 행렬의 열은 '행렬렬'이라 하는데, 이런 것들도 일반적인 의미에서 '수열'이라고 불린다.

수열은 특정한 순서로 놓인 수의 열이기 때문에 순서를 표시하여야 하는 문제가 있다. 일반적으로 수열 이름은 [eqn: a]와 [eqn: b]와 같은 영문자 소문자로 표시하고 수열의 순서를 의미있는 서수를 수열 이름의 우측 아래첨자 형태로 다음과 같이 표현하기로 한다.

[eqn: a _{1} ,`a _{2} ,`a _{3} ,` CDOTS]

여기서 [eqn: a _{1}]은 수열의 첫 번째 값을 의미하며, [eqn: a _{n}]은 [eqn: n]번째 항의 값을 말하게 된다. 그러므로 수열을 표현할 때 일반항인 [eqn: a _{n}]이 인덱스 [eqn: n]에 대해서 어떤 규칙으로 표현되는지가 매우 중요하다, 다음의 예를 통해서 일반항을 살펴보도록 하자.

① 1, 2, 3, 4, …

② 2, 4, 6, 8, …

이에 대한 수열의 일반항을 구하면 첫 번째 수열의 일반항은 [eqn: a _{n} =`n]이며 두 번째 수열의 일반항은 [eqn: b _{n} =2n]이다. 그러므로 일반항이 어떻게 표현되는지에 따라 여러 종류가 있을 수 있음을 짐작할 수 있다.

[등차수열]

등차수열(영어: arithmetic sequence, 等差數列)은 연속하는 두 수의 차이가 일정한 수열을 뜻한다. 예를 들어 1, 3, 5, 7, 9, ...은 등차수열이다. 이때 두 수의 차이를 공차(영어: common difference)라고 한다. 예를 들어, 앞의 수열의 공차는 2이다. 수열의 초항을 a1, 공차를 d라고 하면 등차수열의 n번째 항은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: a _{n} =a _{1} +(n-1)d].

왜냐하면,

[eqn: a _{2} =a _{1} +d],

[eqn: a _{3} =a _{2} +d=(a _{1} +d)+d=`a _{1} +2d],

[eqn: a _{4} =a _{3} +d=(a _{2} +d)+d=`a _{1} +3d]

이기 때문이다.

[질문]   첫 번째 항부터 n번째 항까지 더하면 얼마나 될까요?

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{n}]

[대답] 우리가 구하려고 하는 값이 여러 항의 합산이기 때문에 구하려고 하는 겂에 대한 이름을 붙이면 합(Sum)이라 하고, n번째 항까지의 합을 [eqn: S _{n}]으로 표현하도록 하자.

[eqn: S _{n} =a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{n}]

부분합 [eqn: S _{n}]을 순서를 달리해서 다음과 같이 두 가지로 표현해 보자.

[eqn: S _{n} =a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{n}]

[eqn: S _{n} =a _{n} +a _{n-1} +a _{n-2} + CDOTS +a _{1}]

순서를 맞추어 다음과 같이 더하도록 하자.

2[eqn: S _{n} =(a _{1} +a _{n} )+(a _{2} +a _{n-1} )+(a _{3} +a _{n-2} )+ CDOTS +(a _{n} +a _{1} )]

이를 일반식을 이용하여 달리 표현하면 다음과 같다.

[eqn: 2S _{n} =(a _{1} +(a _{1} +(n-1)d))+((a _{1} +d)+(a _{1} +(n-2)d))+ CDOTS +((a _{1} +(n-1)d)+a _{1} )]

[eqn: 2S _{n} =(2a _{1} +(n-1)d)+(2a _{1} +(n-1)d)+ CDOTS +(2a _{1} +(n-1)d)]

[eqn: 2S _{n} =n`(2a _{1} +(n-1)d)]

그러므로, 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

[eqn: S _{n} = {n`(2a _{1} +(n-1)d)} over {2}]

[등비수열]

등비수열(等比數列, 영어: geometric sequence)은 각 항이 그 앞 항과 일정한 비를 가지는 수열을 말한다. 그리고, 이 일정한 비를 공비(共比, 영어: common ratio)라고 한다.

초항이 a이고 공비가 r인 등비수열은 다음과 같다.

[eqn: a,```ar,````ar ^{2} `,```ar ^{3} ,` CDOTS]

다음은 등비수열의 예들이다.

① 초항이 1이고 공비가 2인 등비수열은 다음과 같다.

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, ...

② 초항이 729이고 공비가 2/3인 등비수열은 다음과 같다.

729, 486, 324, 216, 144, 96, 64, ...

③ 초항이 3이고 공비가 -1인 등비수열은 다음과 같다.

3, -3, 3,-3, 3, -3, 3 ...

초항이 a인 등비수열의 n번째 항은 다음과 같다.

[eqn: a _{n} =ar ^{n-1}]

등비수열은 n ≥ 1에 대해 다음과 같은 점화식으로 표현될 수 있다.

[eqn: a _{n} =r`a _{n-1}]

이를 이용해, 일반적으로 어떤 수열이 등비수열 확인하기 위해선 각 연속된 항의 비가 일정한지만 확인하면 된다.

등비수열은 공비에 따라 다음과 같은 특성을 갖는다.

① 공비가 양수이면, 모든 항은 초항과 같은 부호를 가진다.

② 공비가 음수이면, 계속 부호가 번갈아 가며 나타난다.

③ 공비가 1보다 크면, 양의 무한대를 향해 지수적으로 증가한다.

④ 공비가 1이면, 모든 항의 값이 같아진다.

⑤ 공비가 -1과 1사이에 있지만 0이 아니면, 0을 향해 지수적으로 감소한다.

⑥ 공비가 -1이면, 모든 항의 절대값은 같지만, 부호가 계속 번갈아 가며 나타난다.

⑦ 공비가 -1보다 작으면, 음의 무한대를 향해 지수적으로 증가한다.

등비수열은(공비가 -1, 1, 0이 아닌경우) 등차수열과 같이 선형 변화를 보이는 것과 달리, 지수적 변화를 보인다. 이 두 수열은 관계가 전혀 없어 보이지만, 등차수열에 거듭제곱을 취하면 등비수열이 되고 반대로 등비수열의 각 항에 로그를 취하면 등차수열이 되는 관계를 가지고 있다.

[질문]   첫 번째 항부터 n번째 항까지 더하면 얼마나 될까요?

[eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{n}]

정리하면,

[eqn: S _{n} =a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{n}# ``````````=`a``+`ar``+ar ^{2} `+` CDOTS ar ^{n-1}]

양변에 [eqn: r]을 곱해보도록 하자.

[eqn: ```S _{n} =`r``+`ar``+ar ^{2} `+`ar ^{3} `+`` CDOTS +ar ^{n-1}# rS _{n} =```````````````ar``+ar ^{2} `+ar ^{3} `+` CDOTS +ar ^{n-1} +ar ^{n}]

위 식에서 아래 식을 빼면, 다음과 같다.

[eqn: ```(1-r)S _{n} =`r```-ar ^{n}]

그러므로 등비수열의 부분합 구하는 공식은 다음과 같다.

[eqn: ```S _{n} = {r(1-ar ^{n-1} )} over {1-r} `]

수열의 극한

[eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } :`a _{1} ,`a _{2} ,` CDOTS]가 수열이고 L이 수라고 가정하자. 임의의 양수 [eqn: epsilon]가 주어졌을 때 자연수 [eqn: n _{0}]가 존재하여 [eqn: n _{0}]보다 크거나 같은 모든 [eqn: n]에 대해  [eqn: a _{n} IN N( alpha : epsilon )]이 성립하면 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]가 [eqn: alpha]로 수렴한다고 말하며 [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n} = alpha }]로 표기하고 이를 수열의 극한값이라고 한다. 이러한 L이 존재하지 않으면 해당 수열이 발산한다고 말한다.

수열 [eqn: `a _{1} ,`a _{2} ,` CDOTS]가 L로 수렴하면 임의의 자연수 N에 대해 수열 [eqn: `a _{N} ,`a _{N+1} ,a _{N _{} +2} ` CDOTS] 도 L로 수렴한다. 즉, 수열의 극한은 수열의 처음의 정해진 유한 개의 항과는 무관한 값임을 알 수 있다.

2.2 연속함수

[함수의 극한]

함수의 극한은 해석학의 기초가 되는 중요한 개념의 하나로, 변수가 어떠한 값에 가까워질 때 함수값이 특정한 값으로 가까워지는 것을 의미한다.

x에 대한 함수 f(x)에서, x가 어떤 값 a에 한없이 가까워지면 f(x)도 어떤 값 c에 한없이 가까워질 때 f(x)가 c에 수렴한다고 한다. 이것을 기호로 표현하면,

“ [eqn: x``` -> ```a] 일 때, [eqn: f(x)``` -> ```c]”

또는

[eqn: lim _{x-> a} {f(x)} =c]

이때, c를  [eqn: x``` -> ```a]일 때의 f(x)의 극한 또는 극한값이라고 한다.

[좌극한과 우극한]

좌극한과 우극한은 x가 a에 가까워질 때, a보다 작거나 큰 어느 한쪽 방향에서만 접근할 때의 값을 의미한다. 극한값이 존재하려면 좌극한과 우극한이 모두 존재해야 하고, 그 두 값이 같아야 한다. 반대로 좌극한과 우극한이 서로 다르거나 둘 중 하나 이상이 존재하지 않는다면, 이 경우 그 함수의 극한값은 존재하지 않는다.

이때 +0과 -0은 그 값의 이동 방향을 나타낸다. [eqn: lim _{x -> a-0} {f(x)} =c]는 x가 a보다 작은 방향에서 a로 가까워지는 것을 의미하고, 반대로 [eqn: lim _{x -> a+0} {f(x)} =c]는 x가 a보다 큰 방향에서 a로 가까워지는 것을 의미한다.

예를 들어, f(x)가 [eqn: x GEQ 0]일때 1, [eqn: x<0]일때 0을 가지는 함수라면 , [eqn: lim _{x -> 0-0} {f(x)} =0], [eqn: lim _{x -> 0+0} {f(x)} =1]이 된다. 0+0, 0-0의 경우 간단히 +0, -0으로 줄여서 표기하기도 한다. 또는 +0, -0을 줄여 +, -로 표기하기도 한다.

[발산]

극한이 존재하지 않는 경우를 발산한다고 한다. 이때 함수값이 무한히 커지거나 작아지는 경우에는 특별히 양의 무한대로 발산하거나 음의 무한대로 발산한다고 정의한다.

예를 들어, [eqn: f(x)= {1} over {x ^{2}}]의 경우 x가 0에 가까워질 때 f(x)는 무한히 커지고, 따라서 양의 무한대로 발산한다.

[성질]

함수의 극한은 다음과 같은 성질을 지닌다.

[eqn: lim _{x -> a} {f(x)} = alpha], [eqn: lim _{x -> a} {g(x)} = beta] 일 때 :

① [eqn: lim _{x -> a} {LEFT { f(x)+g(x) RIGHT }} = alpha + beta]

② [eqn: lim _{x -> a} {LEFT { f(x)-g(x) RIGHT }} = alpha - beta]

③ [eqn: lim _{x -> a} {k`f(x)} =k` alpha] ([eqn: k]는 상수)

④ [eqn: lim _{x -> a} {LEFT { f(x)``g(x) RIGHT }} = alpha beta]

⑤ [eqn: lim _{x -> a} {{g(x)} over {f(x)}} = {beta } over {alpha }]  (단, [eqn: g(x) != 0,` beta != 0])

[연속함수]

“실수 집합의 한 부분집합에서 실수 집합으로 가는 함수 [eqn: f:X SUBSETEQ R````` -> ````R]가 주어져 있다고 하자. [eqn: a IN X] 이고, [eqn: LEFT { x _{n} RIGHT }]가 a로 수렴하는 X의 임의의 수열이라 하자. 즉, [eqn: lim _{n -> INF } {x _{n} =a}]이다. 이 때, 만일 [eqn: lim _{n -> INF } {f(x _{n} )=f(a)}]를 만족할 때, [eqn: f]는 [eqn: a IN X]에서 연속이다.”

또한, 만일 임의의 에 대하여 위 조건이 만족된다면, f는 X전체에서 연속함수가 된다.

[엡실론-델타]

극한을 쓰지 않고 함수의 연속성을 다음과 같이 정의할 수 있다.

실수 집합에서 정의되는 함수 f와 정의역에 속하는 임의의 원소 c가 있다고 가정하자. 다음 조건을 만족할 때 함수 f는 c에서 연속이다.

“임의의 작은 수 ε>0에 대해, 모든 c−δ < x < c+δ에 속하는 x에 대해 f(c)−ε < f(x) < f(c)+ε을 만족하는 양수 δ가 존재한다.”

다시 말해, 실수 집합의 부분집합 A와 B에 대해, f: A→B가 c∈A에서 연속이라는 것은 곧 모든 수 ε > 0에 대해 x ∈ A이고 |x-c| < δ이면 항상 |f(x)-f(c)| < δ를 만족하는 δ > 0가 존재한다는 것이다.

이러한 성질을 가지는 연속함수들의 그래프를 살펴보면 정의구역의 모든 점에 그 그래프는 연결되어 있다는 것이다. 따라서, 주어진 함수가 연속이라 함은 함수의 그래프가 연결되어 있다는 말과 동일함을 기억하자. 다음과 같은 함수는 연속함수가 아님을 알 수 있다.

[eqn: f(x)`=` cases{x+1,&```````x` LEQ 0#-x+2,`&```````x`>0}]

그러나 다음 함수는 연속이다.

[eqn: f(x)`=` cases{x+1,&```````x` LEQ 0#-x+1,`&```````x`>0}]

그러나 이 함수의 그래프를 살펴보면 연결은 되어 있으나 [eqn: x=0] 주변에서 부드럽게 이어지질 않고 있음을 알 수 있다.

2.3 삼각함수

삼각함수(三角函數, 영어: trigonometric function)는 수학에서 사용되는 각에 대한 함수이다. 삼각함수는 삼각형이나 주기적 현상의 가정에 주로 사용된다. 삼각함수는 일반적으로 해당 각이 존재하는 직각삼각형의 두 변의 비로 정의되며, 단위원에서의 가변적인 호의 길이의 비로 정의되기도 한다. 삼각함수에는 6개의 기본 함수가 있다.

각 C가 직각인 삼각형 ABC에서, 각 A, B, C와 마주보는 변의 길이를 a,b,h라고 할 때, 사인(sine, 문화어: 시누스), 코사인(cosine, 문화어: 코시누스), 탄젠트(tangent, 문화어: 탕겐스)의 정의는 다음과 같다.

사인:  [eqn: sin`A`= {a} over {h}]

코사인:  [eqn: cos`A`= {b} over {h}]

탄젠트:  [eqn: tan`A`= {a} over {b}]

또한, 코시컨트(cosecant), 시컨트(secant), 코탄젠트(cotangent)는 위 세 함수의 역수가 되며, 다음과 같이 정의한다.

코시컨트 :   [eqn: csc`A`= {1} over {sin`A} = {h} over {a}]

시컨트 :  [eqn: sec`A`= {1} over {cos`A} = {h} over {b}]

코탄젠트 :  [eqn: cot`A`= {1} over {tan`A} = {b} over {a}]

[삼각함수 기본 성질]

① [eqn: sin`A`= {a} over {h}],   [eqn: cos`B`= {a} over {h}] , [eqn: A+B`= { pi } over {2}]            [eqn: RARROW]  [eqn: sin`A`=cos( {pi } over {2} -A)]

② [eqn: sin ^{2} `A`+cos ^{2} A= {a ^{2}} over {h ^{2}} + {b ^{2}} over {h ^{2}} = {a ^{2} +b ^{2}} over {h ^{2}}], [eqn: a ^{2} +b ^{2} =h ^{2}] [eqn: RARROW]  [eqn: sin ^{2} `A`+cos ^{2} A=1]

③ [eqn: sin`( alpha + beta )`=sin` alpha `cos` beta `+`cos` alpha `sin` beta]

[증명]

선분 [eqn: OA]와 선분 [eqn: OB]의 길이는 1이라고 가정한다. 그러면 [eqn: sin` alpha `=BE],  [eqn: cos` alpha `=OE], [eqn: sin` beta `=AC], [eqn: cos` beta `=OC]  이다. [eqn: sin`( alpha + beta )`=AG] 인데 이를 다른 변의 합으로 표현하면 다음과 같은 식으로 표현할 수 있다.

[eqn: AG=AD+DG`=`AD+`CF`=`AC``cos alpha +OC``sin` alpha]

그러므로

[eqn: sin( alpha + beta )=AG`=`AC``cos alpha +OC``sin` alpha `=`sin` beta `cos alpha +cos` beta `sin` alpha]

이다.

④ [eqn: cos`( alpha + beta )`=cos` alpha `cos` beta `-`sin` alpha `sin` beta]

[증명]

선분 [eqn: OA]와 선분 [eqn: OB]의 길이는 1이라고 가정한다. 그러면 [eqn: sin` alpha `=BE],  [eqn: cos` alpha `=OE], [eqn: sin` beta `=AC], [eqn: cos` beta `=OC]  이다. [eqn: cos`( alpha + beta )`=OG] 인데 이를 다른 변의 합으로 표현하면 다음과 같은 식으로 표현할 수 있다.

[eqn: OG=OF-FG`=`OF-CD`=`OC``cos alpha -AC``sin` alpha]

그러므로

[eqn: cos( alpha + beta )=OG`=`OC`cos alpha -AC`sin` alpha =cos alpha `cos beta `-sin` alpha `sin beta `]

이다.

⑤ [eqn: sin`( alpha - beta )`=sin` alpha `cos` beta `-`cos` alpha `sin` beta]

[증명] [eqn: sin`( alpha +(- beta ))`=sin` alpha `cos`(- beta )+`cos` alpha `sin`(- beta )]

[eqn: =sin` alpha `cos` beta +`cos` alpha `(-sin` beta )]

[eqn: =sin` alpha ``cos` beta -`cos` alpha ``sin` beta]

⑥ [eqn: cos`( alpha - beta )`=cos` alpha `cos` beta `+`sin` alpha `sin` beta]

[증명] [eqn: cos`( alpha +(- beta ))`=cos` alpha `cos`(- beta )-`sin` alpha `sin`(- beta )]

[eqn: =cos` alpha `cos` beta -`sin` alpha `(-sin` beta )]

[eqn: =cos` alpha ``cos` beta +`sin alpha ```sin` beta]

⑦  [eqn: sin` alpha `cos` beta `= {sin`( alpha + beta )+sin`( alpha - beta )} over {2} `]

[eqn: cos` alpha ``sin` beta ``=` {sin`( alpha + beta )-sin`( alpha - beta )} over {2}]

[eqn: cos` alpha `cos` beta `= {cos`( alpha + beta )+cos`( alpha - beta )} over {2} `]

[eqn: sin` alpha `sin` beta `=``- {cos`( alpha + beta )-cos`( alpha - beta )} over {2} `]

⑧  [eqn: sin`A+sin`B`=`2``sin` {A+B} over {2} `cos` {A-B} over {2} ``]

[eqn: sin`A-sin`B`=`2``cos` {A+B} over {2} `sin` {A-B} over {2} ``]

[eqn: cos`A+cos`B`=`2``cos` {A+B} over {2} `cos` {A-B} over {2} ``]

[eqn: cos`A-cos`B`=`-`2```sin` {A+B} over {2} `sin` {A-B} over {2} ``]

⑨  [eqn: sin ^{2} ` {alpha } over {2} `= {cos` alpha -1} over {2} `],     [eqn: cos ^{2} ` {alpha } over {2} `= {cos` alpha +1} over {2} `]

2.4 도함수

수학에서 미분(微分)은 어떠한 양이 변화하는 속도를 말한다. 이것은 적분과 함께 미적분학의 기본적인 개념을 이룬다.

미분의 가장 단순한 형태는 단순한 실변수의 실수값 함수의 미분이다. 이것의 설명은 다음과 같다.

￭ 미분은 한 점에서, 함수의 그래프의 접선의 기울기로 주어진다. 이렇게 하여 미분은 볼록성 또는 오목성처럼, 그래프의 기하학적 속성을 결정하는 데 사용될 수 있다.

￭ 미분은 변화율의 수학적 형식화를 제공한다. : 그것은 함수의 편각 변화에 대응하는 함수값 변화에 대한 비율을 측정함으로써 얻어진다.

미분의 개념은 변수가 하나인 함수뿐만 아니라 변수가 여럿인 함수에도 확장할 수 있다. 또한 벡터, 미분기하학과 같은 범위에도 일반화할 수 있다.

[평균변화율]

주어진 함수 [eqn: y=f(x)] 상에 있는 두 점 [eqn: P(a,f(a)),`Q(b,`f(b))]사이의 선분을 생각하자. 이때 두 점에 의해서 생성되는 선분의 기울기는 두 점 사이의 평균변화율로 계산되어짐을 알 수 있다.

[eqn: m= {f(b)-f(a)} over {b-a}]

[미분계수]

이때 점 [eqn: Q]과 점 [eqn: P]로 가까이 접근하게 되면 두 점에 의해서 생성되는 선분은 점 [eqn: P]에서의 접선으로 변하게 되어 두 점에 의해서 생성된 평균변화율은 점 [eqn: P] 에서의 주어진 함수값의 순간변화율을 의미하게 됨을 알 수 있다. 순간변화율은 다음과 같이 정의된다.

[eqn: f prime (a)= lim _{h -> 0} {{f(a+h)-f(a)} over {h}}]

이러한 평균변화율의 극한값을 [eqn: f'(a)]라고 표시하고, [eqn: x=a]에서의 [eqn: f(x)]의 미분계수(differential coefficient)라고 말한다. 또한 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=a]에서 미분가능(differentiable)하다고 한다. 만약 함수 [eqn: f(x)]가 주어진 구간의 모든 점에서 미분가능하다면 미분가능한 함수라고 말한다. 따라서 모든 점에서 미분계수 값을 구할 수 있기 때문에 이런 값을 함수값으로 갖는 새로운 함수를 정의할 수 있다. 이러한 함수를 주어진 함수에 대한 도함수라고 말한다. [eqn: f'(x)] 또는 [eqn: {d} over {dx} f(x)], [eqn: {df} over {dx}]라고 표기한다.

[도함수의 사칙연산]

① [eqn: {d} over {dx} LEFT ( f(x)+g(x) RIGHT ) = {d} over {dx} f(x)``+ {d} over {dx} g(x)`]

② [eqn: {d} over {dx} LEFT ( f(x)-g(x) RIGHT ) = {d} over {dx} f(x)``- {d} over {dx} g(x)`]

③ [eqn: {d} over {dx} LEFT ( f(x)`g(x) RIGHT ) = LEFT ( {d} over {dx} f(x) RIGHT ) `g(x)``+f(x)` LEFT ( {d} over {dx} g(x) RIGHT ) `]

④ [eqn: {d} over {dx} LEFT ( {f(x)} over {`g(x)} RIGHT ) = {LEFT ( {d} over {dx} f(x) RIGHT ) `g(x)``-f(x)` LEFT ( {d} over {dx} g(x) RIGHT )} over {g ^{2} (x)} `]

[대수함수의 도함수]

대수함수 [eqn: f(x)=x ^{n}]에 대한 도함수를 구해보자.

[eqn: f prime (x)= lim _{h -> 0} {{f(x+h)-f(x)} over {h}}]

[eqn: =` lim _{h -> 0} {{(x+h) ^{n} -x ^{n}} over {h}}]

계산을 위하여 다음과 같은 인수분해 식을 생각하자.

[eqn: x ^{n} -y ^{n} =(x-y)(x ^{n-1} +x ^{n-2} y+x ^{n-3} y ^{2} + CDOTS xy ^{n-2} +y ^{n-1} )]

그러면,

[eqn: f prime (x)=` lim _{h -> 0} {{(x+h-x)((x+h) ^{n-1} +(x+h) ^{n-2} x CDOTS +(x+h)x ^{n-2} +x ^{n-1} )} over {h}}]

[eqn: f prime (x)=` lim _{h -> 0} {((x+h) ^{n-1} +(x+h) ^{n-2} x} + CDOTS +x ^{n-1} )]

[eqn: f prime (x)=` lim _{h -> 0} {(x ^{n-1} +x ^{n-2} x} + CDOTS +x ^{n-1} )]

[eqn: f prime (x)=`n`x ^{n-1}].

그러므로 대수함수 [eqn: f(x)=x ^{n}]에 대한 도함수는 [eqn: f'(x)=nx ^{n-1}]임을 알 수 있다.

[예제] [eqn: f(x)`=`c]

[eqn: f prime (x)=` lim _{h -> 0} {{c`-c} over {h} =0`}]

[삼각함수의 도함수]

사인함수 [eqn: f(x)=sin`x]에 대한 도함수를 구해보자.

[eqn: f prime (x)= lim _{h -> 0} {{f(x+h)-f(x)} over {h}}]

[eqn: =` lim _{h -> 0} {{sin`(x+h)-sin`x} over {h}}]

[eqn: =` lim _{h -> 0} {{2`cos(x+ {h} over {2} )`sin( {h} over {2} )} over {h}}]                                                    [eqn: =` lim _{h -> 0} {LEFT ( {``sin( {h} over {2} )} over {{h} over {2}} RIGHT ) `` TIMES ` lim _{h -> 0} {LEFT ( cos(x+ {h} over {2} ) RIGHT )}}]

[eqn: =`1 TIMES ` lim _{h -> 0} {LEFT ( cos(x+ {h} over {2} ) RIGHT ) `}]

[eqn: =``cos`x]

코사인함수 [eqn: f(x)=cos`x]에 대한 도함수를 구해보자.

[eqn: f prime (x)= lim _{h -> 0} {{f(x+h)-f(x)} over {h}}]

[eqn: =` lim _{h -> 0} {{cos`(x+h)-cos`x} over {h}}]

[eqn: =` lim _{h -> 0} {{-2`sin(x+ {h} over {2} )`sin( {h} over {2} )} over {h}}]                                                    [eqn: =` lim _{h -> 0} {LEFT ( {``sin( {h} over {2} )} over {{h} over {2}} RIGHT ) `` TIMES ` lim _{h -> 0} {LEFT ( -`sin(x+ {h} over {2} ) RIGHT )}}]

[eqn: =`1 TIMES ` lim _{h -> 0} {LEFT ( -`sin(x+ {h} over {2} ) RIGHT ) `}]

[eqn: =``-`sin`x]

탄젠트 함수 [eqn: f(x)=tan`x]에 대한 도함수를 구해보자.

[eqn: f'(x)= {d} over {dx} `tan`x`=` {d} over {dx} LEFT ( {sin`x} over {cos`x} RIGHT ) = {LEFT ( {d} over {dx} `sin`x RIGHT ) `cos`x`-`sin`x` LEFT ( {d} over {dx} `cos`x RIGHT )} over {cos ^{2} x}]

[eqn: f prime (x)= {`cos ^{2} `x`+`sin ^{2} `x} over {cos ^{2} x} =` {1} over {cos ^{2} x} =sec ^{2} x]

2.5 극대값 / 극소값

함수에서 주변의 값보다 자신의 값이 지역적으로 최고이거나 최소인 경우 그 점을 극값이라 말하는데, 이는 주어진 구간에서 최대값과 최소값을 찾을 때 필수적으로 확인하여야 하는 값들이다. 왜냐하면 최대값(최소값)은 이러한 극대(극소)점이나 구간의 경계에 있는 점들에서 발생할 수 있기 때문이다. 또한 함수의 그래프를 그리고자 할 때 전체적인 모양을 유추하는데 필요한 값임을 알 수 있다.

[극대] “함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=a]에서 극대값을 갖는다.”는 다음의 정의를 따른다.

“ for all [eqn: x` IN [a-b,`a+b]], [eqn: f(a)` GEQ f(x)] 이면 [eqn: x=a]에서 극대값을 갖는다.”

[극소] “함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=a]에서 극소값을 갖는다.”는 다음의 정의를 따른다.

“ for all [eqn: x` IN [a-b,`a+b]], [eqn: f(a)` LEQ f(x)] 이면 [eqn: x=a]에서 극소값을 갖는다.”

[극값의 성질]

극대가 되는 지점 근방의 함수의 그래프를 살펴보면 왼쪽보다도 그리고 오른쪽 보다도 더 높기 때문에, [eqn: x=a]의 왼쪽 영역에서는 미분계수가 양수이며, 오른쪽 영역에서는 미분계수가 음수임을 알 수 있다. 즉, 극대가 되는 지점은 미분계수가 양수에서 음수로 바뀌는 지점임을 알 수 있다. 그러므로 극대가 되는 지점을 찾는 방법은 도함수를 구하여 그 도함수 값인 미분계수 값이 0이 되는 지점을 우선 찾아야 한다. 그 이후 그 지점 근방에서 미분계수의 부호가 변하는지를 살펴봐야 한다.

극소가 되는 지점 근방의 함수의 그래프를 살펴보면 왼쪽보다도 그리고 오른쪽 보다도 더 낮기 때문에, [eqn: x=a]의 왼쪽 영역에서는 미분계수가 음수이며, 오른쪽 영역에서는 미분계수가 양수임을 알 수 있다. 즉, 극소가 되는 지점은 미분계수가 음수에서 양수로 바뀌는 지점임을 알 수 있다. 그러므로 극소가 되는 지점을 찾는 방법은 도함수를 구하여 그 도함수 값인 미분계수 값이 0이 되는 지점을 우선 찾아야 한다. 그 이후 그 지점 근방에서 미분계수의 부호가 변하는지를 살펴봐야 한다.

[예제]   [eqn: f(x)`= {1} over {3} `x ^{3} -x]

[eqn: f'(x)`=`x ^{2} -1=0],  [eqn: x _{1} =-1,`````x _{2} =1]

[eqn: x]		-1		1
[eqn: f'(x)]	+	0	-	0	+

2.6 급수

급수(級數)란 수학에서 수열들의 각 항의 합을 의미한다. 즉, 급수란 여러 수들의 합연산으로 표현된다. 급수의 예로는 아래와 같은 등차수열의 합이 있다.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 99 + 100

급수에 더해지는 각 항들이 어떤 공식이나 알고리즘에 의해 표현되는 경우도 있다. 난수들로 이루어진 급수도 생각할 수 있다.

급수는 유한급수와 무한급수로 나눌 수 있다. 유한급수의 경우 기초적인 대수학의 법칙들만 사용하여도 그 값을 구할 수 있다. 하지만 무한급수는 그 정확한 합을 구하기 위해서는 해석학의 여러 정리들이 필요하다. 예를 들어 등차수열들의 합으로 이루어진 급수의 경우, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: sum _{k=0} ^{n} (ak+b)]

등비수열의 합으로 이루어진 급수의 경우, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: sum _{k=0} ^{n} a ^{k}]

[무한급수]

[eqn: S _{n`} =a _{0} +a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{n}]

무한급수의 합은 위에 적혀있는, 급수의 부분합으로 이루어지는 수열의 극한값으로 생각한다. n이 무한대로 갈 때 그 극한이 유한한 값을 갖는다면 이 급수가 수렴한다고 한다. 만약 이 값이 무한하거나 존재하지 않는다면, 이 급수는 발산한다고 한다.

무한급수가 발산하는지 여부를 판단하는 가장 쉬운 방법은 급수를 구성하고 있는 수열의 n번째 항인 an이 n이 무한으로 갈 때 0으로 수렴하는지 여부를 체크하면 된다. 만약 0으로 가지 않는다면, 이 급수는 발산한다는 사실을 쉽게 확인할 수 있다. 하지만 그 극한값이 0으로 간다고 해도, 이 급수가 항상 수렴하는 것은 아니다. 다음의 급수의 경우 수열의 값은 0으로 수렴하지만, 급수는 수렴하지 않는다.

[eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {3} + CDOTS + {1} over {n} + CDOTS]

급수를 구성하고 있는 각 수열들이 0이 아닌 항으로만 이루어져 있더라도 수렴할 수도 있다. 제논의 역설로도 확인할 수 있는 수렴하는 무한급수의 예는 다음과 같다.

[eqn: {1} over {2} + {1} over {4} + {1} over {8} + {1} over {16} + CDOTS]

수직선에서 이를 눈으로 확인해볼 수 있다. 수직선에서 [eqn: {1} over {2} ,``` {3} over {4} ,`` {7} over {8}]에 해당하는 부분에 점을 찍어보면, 언제나 마지막에 찍은 점과 그 앞에 찍은 점 사이의 거리가, 1과 마지막에 찍은 점과의 거리와 같다는 사실을 알 수 있다. 하지만 이런 논리로는 이 급수의 부분합이 항상 1보다 작다는 사실을 설명할 뿐, 무한급수의 합이 1이 된다는 사실을 증명해주지는 못한다.

위의 급수를 등비급수로 표현하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

[eqn: sum _{n=0} ^{INF } 2 ^{-n+1} =2]

일반적인 무한급수를 표시할 때에는 다음과 같이 쓸 수 있다.

[eqn: sum _{n=0} ^{INF } a _{n}]

여기에서 an은 실수(혹은 복소수)이며, 만약 부분합의 극한인

[eqn: lim _{N -> INF } {sum _{n=0} ^{N} a _{n}}]

이 어떤 값 S로 수렴한다면, 이 무한급수의 합은 S와 같다고 한다. 이런 수 S가 존재하지 않을 경우 이 급수는 발산한다고 한다.

[무한급수의 수렴]

무한급수에서 중요하게 생각해야 하는 점은 그 급수가 수렴하는지 발산하는지를 확인하는 작업이다. 주어진 급수가 등차수열에 의해서 생성된 것이라면 수렴하기 위해서는 공차가 어떤 조건에 놓여야 되는지, 등비수열이라면 공비가 어떤 값을 가져야 하는지 이에 대한 조사가 필요하다. 이에 대해서는 학생 여러분이 조사하기 바란다.

[테일러 급수]

[eqn: n GEQ 0]인 정수 n에 대하여, 폐구간 [a, x]에서 n번 미분가능하고 개구간 (a, x)에서 (n + 1)번 미분가능한 함수 f는

[eqn: f(x)= sum _{n=0} ^{INF } {f ^{(n)} (a)} over {n!} (x-a) ^{n}]

로 나타내어질 수 있다. 처음 몇 항까지를 선택함으로써 x = a 주변에서의 f(x)의 근사식으로 사용할 수 있는데, 이를 테일러 다항식(Taylor polynomial)이라고 한다. 특히 선형근사는 n = 1인 테일러 급수로 볼 수 있다.

다음의 여러 가지 함수에 대한 테일러 급수이다.

[eqn: e ^{x} = sum _{n=0} ^{INF } {x ^{n}} over {n!} =1`+`x+ {x ^{2}} over {2!} + {x ^{3}} over {3!} + CDOTS]

[eqn: sin`x= sum _{n=0} ^{INF } {(-1) ^{n}} over {(2n+1)!} x ^{2n+1} =`x- {x ^{3}} over {3!} + {x ^{5}} over {5!} + CDOTS]

[eqn: cos`x= sum _{n=0} ^{INF } {(-1) ^{n}} over {(2n)!} x ^{2n} =`1- {x ^{2}} over {2!} + {x ^{4}} over {4!} - CDOTS]

[eqn: ln`(1+x)= sum _{n=1} ^{INF } {(-1) ^{n+1}} over {n!} x ^{n} =x- {x ^{2}} over {2!} + {x ^{3}} over {3!} - {x ^{4}} over {4!} +]

2.7 리만합

실수의 부분집합 D에서 정의되는 함수 f: D → R를 생각하자. 그리고 I=[a, b]인 닫힌구간이 D 안에 들어있다고 하자. 점들의 유한 집합 {x0, x1, x2, ... xn}은 a = x0 < x1 < x2 ... < xn = b이고 I 안에 들어있는 다음의 분할(영어: partition)을 생성한다. :

P = { [x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn] }

만약 P가 I의 n 개의 원소들을 가지는 분할이라면, I 상에서 분할 P를 가지는 f의 리만 합은 다음과 같이 정의된다. :

[eqn: S`=` sum _{i=1} ^{n} f(a _{i} )`(x _{i} -x _{i-1} )]

여기서 [eqn: x _{i-1} LEQ a _{i} LEQ x _{i}]이며, 구간 내에서 [eqn: a _{i}]의 선택은 임의적이다. 모든 i에 대하여 [eqn: a _{i} `=x _{i}]라면 S는 오른쪽 리만 합으로, [eqn: a _{i} `=x _{i-1}]라면 왼쪽 리만 합, [eqn: a _{i} `= {x _{i-1} +x _{i}} over {2}]라면 가운데 리만 합으로 각각 불린다. 왼쪽 리만 합과 오른쪽 리만 합의 평균을 취한 것이 사다리꼴 합(영어: Trapezoidal sum)이라고 불리는 것과 같다.

우리가 다음 식을 가지고 있다고 하자. :

[eqn: S`=` sum _{i=1} ^{n} v _{i} `(x _{i} -x _{i-1} )]

여기서, [eqn: v _{i}]는 [xi-1, xi]에서 f의 최소 상한이다. 그러면 S는 위쪽 리만 합으로 정의될 수 있다. 이와 비슷하게, [eqn: v _{i}]가 [xi-1, xi]에서 f의 최대 하한이라면 S는 아래쪽 리만 합이다.

주어진 분할(xi-1과 xi 사이에서 임의로 선택한 yi)을 가지는 어떠한 리만 합도 위쪽 리만 합과 아래쪽 리만 합 사이에 들어있게 된다. 어떤 함수가 분할을 더 작게 쪼개면 쪼갤수록 아래쪽 리만 합과 위쪽 리만 합이 점점 가까워진다면 이 함수는 리만 적분 가능으로 정의된다. 이 사실은 수치 적분에 사용된다.

위에서 언급했듯이, 리만 합을 계산하기 위한 몇 가지 방법들이 있다. 왼쪽, 오른쪽, 가운데, 사다리꼴 합이 바로 그것이다. 아래에서는 각 구간이 동일한 크기를 가지는 분할을 이용해 간단한 경우로 예를 들어보겠다. 즉, [a, b]는 n개의 구간으로 쪼개지고, 각각의 길이 [eqn: dx`= {b-a} over {n}]이다. 따라서 각 분할의 점들은

[eqn: a,``a+dx,`a+`2dx,` CDOTS ,`a+(n-1)dx,`b].

이 된다.

[왼쪽 리만 합]

왼쪽 리만 합을 계산하기 위해, 각 분할 구간의 왼쪽 끝점에서의 함수 값으로 이용한다. 그러면 밑변 [eqn: dx]와 높이 [eqn: f(a+i`dx)]를 가지는 여러 개의 사각형이 생긴다. 이것을 i=0, 1, ..., n−1 동안 반복하여 더하면 결과 면적은

[eqn: f(a)`dx`+`f(a+dx)`dx`+f(a+2`dx)`dx`+` CDOTS +f(b-dx)`dx]

이 된다.

이 구간에서 f가 단조 감소인 경우 왼쪽 리만 합은 실제 값보다 크게 예측한 것이 될 것이고, 단조 증가라면 실제보다 작게 예측한 것이 될 것이다..

[오른쪽 리만 합]

여기서는 각 구간의 오른쪽 끝점에서의 함수 값으로 이용한다. 그러면 [eqn: dx]와 높이 [eqn: f(a+i`dx)]를 가지는 여러 개의 사각형이 생긴다. 이것을 i=1, 2, n 동안 반복하여 더하면 다음 결과를 얻는다. :

[eqn: f(a+dx)`dx`+f(a+2`dx)`dx`+` CDOTS +f(b)`dx]

왼쪽 리만 합과 반대로, 오른쪽 리만 합은 단조 증가인 f의 리만 합을 크게 예측한 것이 되고, 단조 감소인 f의 리만 합을 작게 예측한 것이 된다.

[가운데 리만 합]

이 경우에는 각 부분 구간의 중간점에서 f의 값을 구한다. 따라서 각 구간에서의 함수값 [eqn: f(a+(2i+1)` {dx} over {2} )]을 가진다. 이를 반복하여 마지막 구간에 다다르면 [eqn: f(b-` {dx} over {2} )] 된다. 이것을 모두 합하면,

[eqn: f(a+ {dx} over {2} )`dx`+f(a+3 {dx} over {2} )`dx`+` CDOTS +f(b- {dx} over {2} )`dx]

임을 알 수 있다.

2.8 정적분

적분(積分)은 어떤 함수의 정의역에 포함되는 부분집합에서, 고전적으로는 그 함수가 가지는 리만 합의 극한으로 정의된다.(리만 적분) 역사적으로는 미분과 별개의 분야로 출발하였으나, 적분값을 나타내는 함수가 역도함수와 같다는 것이 미적분학의 기본정리를 통해 증명되면서 미적분학으로 발전하였다.

폐구간 [a,b] 에서 연속인 함수 y = f(x) 를 생각하자. 여기에서 기하에서의 면적으로 이해하기 위하여  [eqn: f(x)` GEQ 0]이라고 가정하자. 폐구간 [a,b]를 n등분 한 후 [eqn: TRIANGLE x`=` {b-a} over {n}]이라고 하자. 각각의 나누어진 점을 [eqn: a=x _{0} ,`x _{1} ,`x _{2} ,` CDOTS ,`x _{n} =b]라고 하면 이들은 공차가 Δx인 등차수열을 이룬다. 즉, [eqn: x _{k} =a+k` TRIANGLE x] 이다. 이때 가로의 길이를 Δx 세로의 길이를 [eqn: f(x _{k} )]로 하는 n개의 직사각형들의 넓이의 합은 [eqn: sum _{k=1} ^{n} f(x _{k} ) TRIANGLE x] 이고, 이 값의 극한값  [eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} f(x _{k} ) TRIANGLE } x]을 a에서 b까지의 정적분 [eqn: int _{a} ^{b} {f(x)dx}]으로 정의한다.

[eqn: int _{a} ^{b} {f(x)dx} == lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} f(x _{k} ) TRIANGLE x}]

[적분 성질]

적분은 다음과 같은 성질을 만족하는데 이를 이용하면 많은 함수에 대한 적분을 구할 수 있다.

① [eqn: int _{} ^{} {a`f(x)`dx`=`a` int _{} ^{} {f(x)dx}}]

② [eqn: int _{} ^{} {[`f(x)±g(x)`]`dx`=`` int _{} ^{} {f(x)dx`± int _{} ^{} {g(x)`dx}}}]

③ [eqn: int _{} ^{} {[`f(x)`g(x)`]`dx`=``f(x) int _{} ^{} {g(x)dx`- int _{} ^{} {f'(x) LEFT ( int _{} ^{} {g(x)`dx} RIGHT ) dx}}}]

④ [eqn: int _{} ^{} {[`f(x)] ^{n} f prime (x)`dx`=`` {LEFT [ f(x) RIGHT ] ^{n+1}} over {n+1} +C,``````n != -1}]

⑤ [eqn: int _{} ^{} {{f prime (x)} over {f(x)} `dx`=``ln` LEFT | f(x) RIGHT | +C}]

⑥ [eqn: int _{} ^{} {f prime (x)f(x)`dx`=`` {1} over {2} LEFT [ f(x) RIGHT ] ^{2} +C}]

[유리 함수]

① [eqn: int _{} ^{} {x ^{n} `dx`=` {x ^{n+1}} over {n+1} +C,```````n != -1}]

② [eqn: int _{} ^{} {x ^{-1} `dx`=`ln` LEFT | x RIGHT | +C}]

③ [eqn: int _{} ^{} {{1} over {1+x ^{2}} dx`=`tan ^{-1} `x+C}]

[무리 함수]

① [eqn: int _{} ^{} {{1} over {sqrt {1-x ^{2}}} `dx`=sin ^{-1} `x+C}]

② [eqn: int _{} ^{} {{-1} over {sqrt {1-x ^{2}}} `dx`=`cos ^{-1} `x+C}]

③ [eqn: int _{} ^{} {{x} over {sqrt {x ^{2} -1}} `dx`=`sec ^{-1} ``x+C}]

[로그 함수]

① [eqn: int _{} ^{} {ln`x`dx`=x``ln`x`-`x+C}]

[지수 함수]

① [eqn: int _{} ^{} {e ^{x} `dx`=e ^{x} +C}]

② [eqn: int _{} ^{} {a ^{x} `dx`= {a ^{x}} over {ln`a} +C}]

[삼각 함수]

① [eqn: int _{} ^{} {cos`x`dx`=sin`x+C}]

② [eqn: int _{} ^{} {sin`x`dx`=-`cos`x+C}]

③ [eqn: int _{} ^{} {tan`x`dx`=-`ln` LEFT | cos`x RIGHT | +C}]

④ [eqn: int _{} ^{} {csc`x`dx`=-`ln` LEFT | csc``x`+`cot`x RIGHT | +C}]

⑤ [eqn: int _{} ^{} {sec`x`dx`=`ln` LEFT | sec``x`+`tan`x RIGHT | +C}]

⑥ [eqn: int _{} ^{} {cot`x`dx`=`ln` LEFT | sin``x RIGHT | +C}]

⑦ [eqn: int _{} ^{} {sin ^{n} `x`dx`=-` {sin ^{n-1} x`cosx} over {n} + {n-1} over {n} int _{} ^{} {sin ^{n-2} xdx+} C}]

⑧[eqn: int _{} ^{} {cos ^{n} `x`dx`=` {cos ^{n-1} x```sin`x} over {n} + {n-1} over {n} int _{} ^{} {cos ^{n-2} x`dx+} C}]

[이상적분] 무한대 상/하한

적분한계 중에서 적어도 하나가 무한일 때의 정적분을 이상적분이라 하고 다음과 같이 정의한다.

[eqn: int _{a} ^{INF } {f(x)`dx`= lim _{b -> INF } { int _{a} ^{b} {f(x)`dx}} ,}]

[eqn: int _{- INF } ^{b} {f(x)`dx`= lim _{a -> - INF } { int _{a} ^{b} {f(x)`dx}} ,}]

[eqn: int _{- INF } ^{INF } {f(x)`dx`= lim _{b-> INF } {} lim _{a -> - INF } { int _{a} ^{b} {f(x)`dx}}}]

다음과 같은 예제를 풀어 보자.

[eqn: int _{1} ^{INF } {{1} over {x ^{2}} `dx`= lim _{b -> INF } { int _{1} ^{b} {{1} over {x ^{2}} `dx}} = lim _{b -> INF } {LEFT [ - {1} over {x} RIGHT ] _{1} ^{b} = lim _{b-> INF } {LEFT [ 1- {1} over {b} RIGHT ] =1}}}]

[eqn: int _{- INF } ^{0} {e ^{x} `dx`= lim _{a -> - INF } { int _{a} ^{0} {e ^{x} `dx}} = lim _{a -> - INF } {LEFT [ e ^{x} RIGHT ] _{a} ^{0} = lim _{a -> - INF } {LEFT [ 1-e ^{a} RIGHT ] =1}}}]

[eqn: int _{- INF } ^{INF } {{1} over {x ^{2} +4} `dx`= lim _{b -> INF } {} lim _{a -> - INF } { int _{a} ^{b} {{1} over {x ^{2} +4} `dx}}}]

[eqn: = lim _{a-> - INF } {lim _{b-> INF } {LEFT [ {1} over {2} tan ^{-1} ( {x} over {2} ) RIGHT ] _{a} ^{b}}}]

[eqn: = lim _{a -> - INF } {lim _{b -> INF } {{1} over {2} LEFT [ tan ^{-1} ( {b} over {2} )-tan ^{-1} ( {b} over {2} ) RIGHT ] _{} ^{}}}]

[eqn: = {1} over {2} LEFT [ {pi } over {2} -(- {pi } over {2} ) RIGHT ] = {pi } over {2}].

[이상적분] 불연속 피적분함수

① 피적분 함수 [eqn: f(x)]가[eqn: x=a] 에서 불연속인 경우

[eqn: int _{a} ^{b} {f(x)`dx`= lim _{epsilon -> 0+} { int _{a+ epsilon } ^{b} {f(x)`dx}} ,}]

② 피적분 함수 [eqn: f(x)]가[eqn: x=b] 에서 불연속인 경우

[eqn: int _{a} ^{b} {f(x)`dx`= lim _{epsilon -> 0+} { int _{a} ^{b- epsilon } {f(x)`dx}} ,}]

③ 피적분 함수 [eqn: f(x)]가[eqn: x=c``(`a`<`c`<`b)] 에서 불연속인 경우

[eqn: int _{a} ^{b} {f(x)`dx`= lim _{epsilon -> 0+} { int _{a} ^{c- epsilon } {f(x)`dx}} `+` lim _{epsilon -> 0+} { int _{c+ epsilon } ^{b} {f(x)`dx}}}].

다음과 같은 함수는

[eqn: int _{0} ^{1} {{1} over {sqrt {1-x ^{2}}} `dx`}]

[eqn: x=1]에서 불연속임을 알 수 있다.

[eqn: int _{0} ^{1} {{1} over {sqrt {1-x ^{2}}} `dx`} = lim _{epsilon -> 0+} { int _{0} ^{1- epsilon } {{1} over {sqrt {1-x ^{2}}} `dx`}}]

[eqn: = lim _{epsilon -> 0+} {LEFT [ sin ^{-1} x RIGHT ] _{0} ^{1- epsilon }}]

[eqn: = {pi } over {2}]

다음과 같은 함수는

[eqn: int _{-1} ^{1} {{1} over {x ^{2}} `dx`}]

[eqn: x=0]에서 불연속이므로

[eqn: int _{-1} ^{1} {{1} over {x ^{2}} `dx`} = int _{-1} ^{0} {{1} over {x ^{2}} `dx+ int _{0} ^{1} {{1} over {x ^{2}} `dx}}]

[eqn: ``= lim _{epsilon -> 0+} {} int _{-1} ^{0- epsilon } {{1} over {x ^{2}} `dx+ lim _{epsilon -> 0+} {} int _{0+ epsilon } ^{1} {{1} over {x ^{2}} `dx}}]

[eqn: ``= lim _{epsilon -> 0+} {} LEFT [ - {1} over {x} RIGHT ] _{-1} ^{- epsilon } + lim _{epsilon -> 0+} {} LEFT [ - {1} over {x} RIGHT ] _{+ epsilon } ^{1}]

[eqn: ``= lim _{epsilon -> 0+} {} LEFT [ -1+ {1} over {epsilon } RIGHT ] + lim _{epsilon -> 0+} {} LEFT [ {1} over {epsilon } -1 RIGHT ]]

[eqn: ``= INF + INF = INF]